克拉莫-克若尼關係式

克拉莫-克若尼關係式（英语：Kramers–Kronig relations）是數學上連系複面上半可析函數實數部和虚數部的公式。此關係式常用於物理系統嘅線性反應函數。物理上因果關系（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。關係被命名為紀念拉爾夫克羅尼格和亨德里克安東尼克拉默斯。

公式定義

一個複數變量$\omega$的複值函數${\chi(\omega)} = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega)$在複面上半可析并當$|\omega|$趨向無限大消失快於$1/|\omega|$，那它的實虚部满足以下關系：

$\chi_1(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'$

和

$\chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',$

其中$\mathcal{P}$表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

推導

推導克拉莫-克若尼關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數$\chi(\omega^\prime)$和實數$\omega$函數$\frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega}$在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。

$\oint \frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega} d\omega^\prime = 0$

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上級點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和$|\omega|$成正比，因此只要$\chi(\omega^\prime)$消失比${1}/{\omega^\prime}$快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過級點的小半圓：

$\oint {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' = \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' - i \pi \chi(\omega) = 0.$

以上第二項留數定理的結果。重組後得到克拉莫-克若尼關係式：

$\chi(\omega) = {1 \over i \pi} \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'.$

分母裡的虚數$i$意味者這是連系實部和虚部的公式。把$\chi(\omega)$分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

物理理解

物理的反應函數$\chi(t - t^\prime)$概括系統對在時間$t^\prime$的作用力$F(t^\prime)$在另一時間$t$的反應$P(t)$：

$P(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \chi(t - t^\prime) F(t^\prime) dt^\prime$

因為系統不能在施力前有任何反應因此當$t^\prime > t$，$\chi(t - t^\prime) = 0$。 可以證明這因果關系意味着$\chi(\tau)$的傅立葉變換$\chi(\omega)$在$\omega$複面上半可析。另外如果系統對遠高於它共振頻率的高頻率作用，作用力轉换太块而系統不能即時做出反應。因此$\chi(\omega)$消失於大的$\omega$值。物理反應函數$\chi(\omega)$符合克拉莫-克若尼關係式的前提條件。

反應函數$\chi(\omega)$的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克拉莫-克若尼關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應。