克拉莫-克若尼關係式

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克拉莫-克若尼關係式(英语Kramers–Kronig relations)是數學上連系複面上半可析函數實數部和虚數部的公式。此關係式常用於物理系統嘅線性反應函數。物理上因果關系(系統反應必須在施力之後)意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之,反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。關係被命名為紀念拉爾夫克羅尼格亨德里克安東尼克拉默斯

公式定義[编辑]

一個複數變量\omega的複值函數{\chi(\omega)} = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega)在複面上半可析并當|\omega|趨向無限大消失快於1/|\omega|,那它的實虚部满足以下關系:

\chi_1(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'

\chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',

其中\mathcal{P}表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立:函數的一部分可以重建整個函數。

推導[编辑]

推導克拉莫-克若尼關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數\chi(\omega^\prime)和實數\omega函數\frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega}在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑:

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。
\oint \frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega} d\omega^\prime = 0

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和|\omega|成正比,因此只要\chi(\omega^\prime)消失比{1}/{\omega^\prime}快,對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓:

\oint {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' = \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' - i \pi \chi(\omega) = 0.

以上第二項留數定理[1]的結果。重組後得到克拉莫-克若尼關係式:

\chi(\omega) = {1 \over i \pi} \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'.

分母裡的虚數i意味者這是連系實部和虚部的公式。把\chi(\omega)分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

物理理解[编辑]

可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上,响应函数\chi(t - t^\prime)概括系統對在時間t^\prime的作用力F(t^\prime)在另一時間t的反應P(t)

P(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \chi(t - t^\prime) F(t^\prime) dt^\prime

因為系統不能在施力前有任何反應因此當t^\prime > t\chi(t - t^\prime) = 0。 可以證明這因果關系意味着\chi(\tau)傅立葉變換\chi(\omega)\omega複面上半可析。另外如果系統對遠高於它共振頻率的高頻率作用,作用力轉换太块而系統不能即時做出反應。因此\chi(\omega)消失於大的\omega值。物理反應函數\chi(\omega)符合克拉莫-克若尼關係式的前提條件。

反應函數\chi(\omega)的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克拉莫-克若尼關係,我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相(不做功)反應,反之亦然。

上述函数的积分路径是从-\infty\infty,其中出现了负频率。幸运的是,多数系统中,正频响应决定了负频响应,这是因为\chi(\omega)是实数变量\chi(t-t')的傅里叶变换,根据对实数进行傅里叶变换的性质,\chi(-\omega)=\chi^*(\omega)\chi_1(\omega)是频率\omega的偶函数,而\chi_2(\omega)\omega的奇函数。

根据该性质,积分可以从正负无穷区间约化为[0,\infty)的区间上。考虑实部\chi_1(\omega)的第一个关系,积分函数上下同乘\omega'+\omega可得:


\chi_1(\omega)=\frac{1}{\pi}\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\omega'\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega + \frac{\omega}{\pi}\mathcal\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.

由于\chi_2(\omega)为偶函数,第二项为零,剩下的部分为


\chi_1(\omega)=\frac{2}{\pi}\mathcal{P}\int_{0}^{\infty}\frac{\omega'\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.

类似的推导亦可用于虚部:


\chi_2(\omega)=-\frac{2}{\pi}\mathcal{P}\int_0^{\infty}\frac{\omega\chi_1(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega' = -\frac{2\omega}{\pi}\mathcal{P}\int_0^\infty\frac{\chi_1(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。

參考文献[编辑]

  1. ^ G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.