克莱因四元群

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数学上,克莱因(Klein)四元群,得名自菲利克斯·克莱因,是最小的非循环群。它有4个元素,除单位元外其阶均为2。

克莱因四元群通常以V表示(来自德文的四元群Vierergruppe)。它是阿贝尔群,同构于\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z,就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群

结构[编辑]

若把克莱因四元群记作V = { 0, e, f, g },其运算为加法"+",那么以下为其运算表:

+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0

这运算是对合的:∀ xV , x + x = 0。

克莱因四元群可扩展为有限域,称为克莱因域,加入乘法为第二个运算,以0为零元,e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为:

x 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f

克莱因四元群是下图自同构群。

\begin{matrix}
\circ \!\! - \!\! \circ \\
\circ \;\; \circ \\
\end{matrix}

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性,可以从它在4点上的置换表示看出:

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >

在这表示中,V是交错群A4正规子群,也是4个字母上的对称群S4的正规子群。根据伽罗瓦理论,克莱因四元群的存在,而且还具有这特别的表示,解释了四次方程可以用根式求解的原因。