克萊姆法則

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

克萊姆法則(Cramer's rule,或「克拉瑪公式」)是一個線性代數中的定理,它用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,它不是最有效率的,所以在很多條等式的情況中沒有被廣泛應用。不過,這定理在理論性方面十分有用。

基本方程[编辑]

一個線性方程組可以用矩陣向量的方程來表示:

Ax = c\,  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

其中的A是一个n \times n 方塊矩陣,而向量 x=( x_1, x_2, \cdots x_n )^T 是一个长度为n列向量c=( c_1, c_2, \cdots c_n )^T 也一样。

克莱姆法则说明:如果A是一个可逆矩陣\det{A} \neq 0 ),那么方程(1)有解 x=( x_1, x_2, \cdots x_n )^T,其中

x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}
(1)\,

當中A_i是被列向量c取代了A的第i列的列向量后得到的矩阵。為了方便,我們通常使用\Delta來表示\det(A),用\Delta_i來表示\det(A_i)。所以等式(1)可以寫成為:

x_i = { \Delta_i \over \Delta }\,

抽象方程[编辑]

R為一個環,A就是一個包含R的系數的n×n矩陣。所以:

\mathrm{Adj}(A)A = \mathrm{det}(A)I\,

當中det(A)就是A的行列式,以及I就是單位矩陣

證明概要[编辑]

对于 \begin{smallmatrix} n \end{smallmatrix}
元线性方程组 A x = c

把系数矩阵 \begin{smallmatrix} A \end{smallmatrix}
表示成列向量的形式

A = \left( u_1, u_2, \cdots, u_n\right)

由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解x^* = A^{-1} c.

x^* = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T,即

A x^* = \sum_{k=1}^n x_k u_k = c

考虑 \begin{smallmatrix} \Delta_i \end{smallmatrix}
的值,利用行列式線性和交替性質,有


\begin{align}
\Delta_i &= det\left(\cdots, u_{i-1}, c, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = det\left(\cdots, u_{i-1}, \sum_{k=1}^n x_k u_k, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = \sum_{k=1}^n x_k \cdot det\left(\cdots, u_{i-1}, u_k, u_{i+1}, \cdots\right)  \\
& = x_i \cdot det\left(\cdots, u_{i-1}, u_i, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = x_i \Delta
\end{align}

于是

x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}

例子[编辑]

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知:

ax + by = {\color{red}e}\,
cx + dy = {\color{red}f}\,

使用矩陣來表示時就是:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}

当矩阵可逆时,x和y可以從克萊姆法則中得出:

x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}
以及
y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知:

ax + by + cz = {\color{red}j}\,
dx + ey + fz = {\color{red}k}\,
gx + hy + iz = {\color{red}l}\,

當中的矩陣表示為:

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }、   y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }   以及   z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }

微分幾何上的應用[编辑]

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式F(x, y, u, v) = 0\,G(x, y, u, v) = 0\,。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我們可定義x = X(u, v)\,y = Y(u, v)\,

找出一條等式適合\partial x/\partial u是克萊姆法則的簡單應用。

首先,我們要計算F、G、x和y的導數:

dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0
dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0
dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv
dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv

將dx和dy代入dF和dG,可得出:

dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0
dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0

因為u和v互不相关,所以du和dv的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:

\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}

現在用克萊姆法則就可得到:


\cfrac{\partial x}{\partial u} = \cfrac{\begin{vmatrix} -\cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ -\cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cfrac{\partial F}{\partial x} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ \cfrac{\partial G}{\partial x} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

\cfrac{\partial x}{\partial u} = - \cfrac{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}

用類似的方法就可以找到\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}以及\frac{\partial y}{\partial v}

基本代數上的應用[编辑]

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用[编辑]

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

外部链接[编辑]