克鲁尔维数

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交換代數中,一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依學數家 Wolfgang Krull(1899年-1971年)命名。

定義[编辑]

設交換環 R 中有 n+1素理想 P_0, \ldots, P_n,使得

P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n

則稱之為長度為 n素理想鏈,一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。R克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度,這也等於是 R 中素理想的最大可能高度

根據定義, R 的維數與對素理想的局部化有下述關係

 \dim R = \sup \{ \dim R_\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}R \}

其中 \mathrm{Spec}RR 的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想\mathfrak{p}。當 R鏈環時,對各極大理想的局部化皆有相同維數;代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例子與性質[编辑]

例如在環  (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z] 中可考慮以下的素理想鏈

 (2) \subsetneq (2,x) \subsetneq (2,x,y) \subsetneq (2,x,y,z)

因此 \dim (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z] \geq 3;事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質:

與幾何的關係[编辑]

代數幾何中,一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界;對於仿射概形 X = \mathrm{Spec} A,則回歸到 \dim X = \dim A

k 為域,R 是有限型 k-整代數,這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理,存在非負整數 dR 中彼此代數獨立的元素 x_1, \ldots, x_d ,使得 R 是有限生成之 k[x_1, \ldots, x_d]-模,因此 \dim R = d。從幾何觀點看,\mathrm{Spec} R 此時是 \mathbb{A}^d_k 的有限分歧覆蓋,因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀:

  1. \dim \mathbb{A}^d_k = d
  2. X \rightarrow Y 是分歧覆蓋,則 \dim X = \dim Y

特別是當 k=\mathbb{C} 時,代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

文獻[编辑]