克鲁斯克尔演算法

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Kruskal演算法是一種用來尋找最小生成樹的演算法,由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim演算法Boruvka演算法等。三種演算法都是貪婪算法的應用。和Boruvka演算法不同的地方是,Kruskal演算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。

步驟[编辑]

  1. 新建圖G,G中擁有原圖中相同的節點,但沒有邊
  2. 將原圖中所有的邊按權值從小到大排序
  3. 從權值最小的邊開始,如果這條邊連接的兩個節點於圖G中不在同一個連通分量中,則添加這條邊到圖G中
  4. 重複3,直至圖G中所有的節點都在同一個連通分量中

證明[编辑]

  1. 這樣的步驟保證了選取的每條邊都是橋,因此圖G構成一個樹。
  2. 為什麼這一定是最小生成樹呢?關鍵還是步驟3中對邊的選取。演算法中總共選取了n-1條邊,每條邊在選取的當時,都是連接兩個不同的連通分量的權值最小的邊
  3. 要證明這條邊一定屬於最小生成樹,可以用反證法:如果這條邊不在最小生成樹中,它連接的兩個連通分量最終還是要連起來的,通過其他的連法,那麼另一種連法與這條邊一定構成了環,而環中一定有一條權值大於這條邊的邊,用這條邊將其替換掉,圖仍舊保持連通,但總權值減小了。也就是說,如果不選取這條邊,最後構成的生成樹的總權值一定不會是最小的。

性质(MST (Minimum Spanning Tree) 性质)[编辑]

若图是连通的无向图或强连通的有向图,则从图中任意一个顶点出发调用一次bfs或dfs后,便可以系统地访问图中所有顶点;若图是有根的有向图,则从根出发通过调用一次dfs或bfs,亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下,图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图,称为原图的生成树。

对于不连通的无向图和不是强连通的有向图,若有根或者从根外的任意顶点出发,调用一次bfs或dfs后,一般不能系统地访问所有顶点,而只能得到以出发点为根的连通分支(或强连通分支)的生成树。要访问其它顶点,还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点,再次调用bfs或dfs,这样得到的是生成森林。

由此可以看出,一个图的生成树是不唯一的,不同的搜索方法可以得到不同的生成树,即使是同一种搜索方法,出发点不同亦可导致不同的生成树。可以证明:具有n个顶点的带权连通图,其对应的生成树有n-1条边。

時間複雜度[编辑]

\Omicron(E log_2 E) E为图中的边数

演算法[编辑]

KRUSKAL-FUNCTION(G, w)
1    F := 空集合
2    for each 圆 G 中的顶点 v
3        do 將 v 加入森林 F
4    所有的边(u, v) ∈ E依权重 w 递增排序
5    for each 边(u, v) ∈ E
6        do if u 和 v 不在同一棵子树
7            then F := F ∪ {(u, v)}
8                將 u 和 v 所在的子树合并