內射模

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內射模英语injective module),在模論中,是具有與有理數 \mathbb{Q}(視為 \Z-)相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念,由Reinhold Baer於1940年引進。

定義[编辑]

一個 R 上的左模 Q 若滿足以下等價條件,則稱之為內射模

  • Q 是另一個左 R-模 M 的子模,則存在另一個子模 R \subset M 使得 M = R 
\oplus Q
  • f: X \to Y 是左 R-模的單射,g: X \to Q 為同態,則存在同態 h: Y \to Q 使得 h \circ f = g。圖示如下:
內射模 Q 的交換圖

右模的定義類此。抽象地說,內射模乃是模範疇中的內射對象

例子[编辑]

  • 零模是內射模的平凡例子。
  • R,則任何 R-模(即 R-向量空間)都是內射模,此點可由的性質證明。
  • G緊群(例如有限群),k 為特徵為零的。根據緊群的表示理論,可知任何表示的子表示都是其直和項;若翻譯為模的語言,即是:群代數 kG 上的所有模都是內射模。
  • A 為域 k 上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子 \mathrm{Hom}_k(-,k) 給出有限生成左 A-模與有限生成右 k-模的對偶性。因此,有限生成的左 A-模在同構的意義下皆可寫作 \mathrm{Hom}_k(P,k),其中 P 是某個有限生成的投射右 A-模。
  • 在一般的環上也存在充足的(在內射分解的意義下)投射模,以下將述及相關理論。初步的例子包括:\mathbb{Q} 對加法形成內射 \Z-模。群 \Z/n\Zn > 1)是內射 \Z/n\Z-模,而非內射 \Z-模。

性質[编辑]

內射模的直積(包括無窮直積)仍是內射模,內射模的有限直和仍為內射模。一般而言,內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果,通常稱作 Baer 判準:一個左 R-模 Q 是內射模若且唯若定義在任一理想 I 上的態射 I \to Q 都能延拓到整個 R 上。

利用此判準,可證明主理想域 R 上的模 Q 是內射模若且唯若 Q 可除,即:對任何 r \neq 0 \in R.\; q \in Q,存在 q' \in Q 使得 rq' = q,由此可證 \mathbb{Q} 是內射 \Z-模,向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬 \mathbb{Q}/\Z:它是 \Z-模範疇中的內射上生成元,換言之,這是內射模,而且任何 \Z-模皆可嵌入某個 (\mathbb{Q}/\Z)^a 中,其中 a 是夠大的基數。由此可知任何 \Z-模皆可嵌入某個內射 \Z-模。此性質對任意環 R 上的左模都成立,要點在於利用 \mathbb{Q}/\Z 的特性構造左 R-模範疇中的內射上生成元。

我們也可以定義模的內射包(基本上是包含一個模的最小內射模)。任意模 M 都有內射分解,這是形式如下的正合序列

0 \to M \to I^0 \to I^1 \to I^2 \to \cdots I^n \to \cdots

其中每個 I^j 都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度(基本上是內射分解的最短長度,可能是無限的)及導函子

不可分解內射模的自同態環是局部環

文獻[编辑]

  • F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

参见[编辑]