內射維度、投射維度與同調維度

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投射維度內射維度同調維度(又稱整體維度)是交換代數中考慮的重要不變量

定義[编辑]

以下設 A交換環,而 MA-

M內射維度 \mathrm{id}_A(M) 定義為其內射分解的最短長度(當 M=(0) 時置 \mathrm{id}_A(0) = -\infty)。投射維度 \mathrm{pd}_A(M) 則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具,可以進一步得到下述刻劃:

命題一. 設 n \geq 0 為整數,下述條件等價:

  • \mathrm{id}_A(M) \leq n
  • 對所有 A-模 N,有 i>n \Rightarrow \mathrm{Ext}^i_A(N,M)=0
  • 對所有理想 I \subset A,有 \mathrm{Ext}^{n+1}_A(A/I, M)=0
  • 對所有正合序列 0 \to M \to I^0 \to \cdots \to I^{n-1} \to Q \to 0,若每個 I 都是內射模,則 Q 也是內射模。

命題二. 設 n \geq 0 為整數,下述條件等價:

  • \mathrm{pd}_A(M) \leq n
  • 對所有 A-模 N,有 i>n \Rightarrow \mathrm{Ext}^i_A(M, N)=0
  • 對所有正合序列 0 \to K \to P_{n-1} \to \cdots \to P_0 \to M \to 0,若每個 P 都是投射模,則 K 也是投射模。

A諾特環M 為有限生成 A-模時,上述條件更等價於

由此可定義環 A同調維度 \mathrm{hd}(A)為:

  • \sup_M \; \mathrm{pd}_A(M)
  • \sup_M \; \mathrm{id}_A(M)
  • 存在 A-模 M, N 使得 \mathrm{Ext}_A^n(M,N) \neq 0 的最大整數 n(可能是無窮大)。

性質[编辑]

內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係:

\mathrm{id}_A(M) = \sup_{\mathfrak{p}}\; \mathrm{id}_{A_\mathfrak{p}} (M_\mathfrak{p})
\mathrm{pd}_A(M) = \sup_{\mathfrak{p}}\; \mathrm{pd}_{A_\mathfrak{p}} (M_\mathfrak{p})

其中的 \mathfrak{p} 取遍 A 的所有素理想(或極大理想),而投射維度給出 \mathrm{Spec} A \to \Z \cup \{\pm \infty\}上半連續函數。事實上,僅須考慮 M 的支撐集中的素理想。

由此立刻得到 \mathrm{hd}(A) = \sup_\mathfrak{p}\; \mathrm{hd}(A)

此外,它們與模的深度也有密切的關係,例如:

定理 (Auslander-Buchsbaum):設 A 為局部諾特環M 為有限生成 A-模,而且其投射維度有限,則

\mathrm{pd}_A(M) + \mathrm{depth}_A(M) = \mathrm{depth}(A)

定理:設 A 為局部諾特環M 為有限生成 A-模,而且其內射維度有限,則

\mathrm{id}_A(M) = \mathrm{depth}(A)

最後,同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃:

定理(Serre):一個局部諾特環 A 是正則局部環的充要條件是 \mathrm{hd}(A) < +\infty,此時 \mathrm{hd}(A) = \dim A

文獻[编辑]