全序关系

全序關係、即在数学中，集合 X 上的全序、线性序、简单序，或（非严格）排序是在 X 上的反对称的、传递的和完全的任何二元关系。这意味着如果我们把这种关系指示为 ≤ 则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立:

如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)

如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)

a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)

配对了在其上相关的全序的集合叫做全序集合、线序集合、简单序集合或链。链还常用来描述某个偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。

关系的完全性性质可以如下这样描述: 在集合中的任何一对元素在这个关系下都是相互可比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性，就是说，a ≤ a。因此全序也是偏序，就是说，自反的、反对称的和传递的二元关系。全序也可以定义为“全部”的偏序，就是满足“完全性”条件的偏序。

可作为选择的，可以定义全序集合为特殊种类的格，它有如下性质

$\{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\}$ 对于所有 a, b。

我们写 a ≤ b 当且仅当 $a = a\wedge b$。可得出全序集合是分配格。

全序集合形成了偏序集合的范畴的全子范畴，通过是关于这些次序的映射的态射，比如，映射 f 使得如果 a ≤ b 则 f(a) ≤ f(b)。

在两个全序集合间的关于两个次序的双射映射是在这个范畴内的同构。

严格全序

对于每个(非严格)全序 ≤ 都一个一个相关联的非对称(因此反自反)的叫做严格全序的关系 <，它可以等价的以两种方式定义:

• a < b 当且仅当 a ≤ b 且 a ≠ b
• a < b 当且仅当 ¬(b ≤ a) (就是说 < 是 ≤ 的补关系的逆关系)

性质:

• 关系是传递的: a < b 且 b < c 蕴涵 a < c。
• 关系是三分的: a < b, b < a 和 a = b 中精确的一个是真的。
• 关系是严格弱序，这里关联的等价是等同性。

我们可以其他方式工作，选择 < 为三分二元关系；则全序 ≤ 可等价的以两种方式来定义:

• a ≤ b 当且仅当 a < b 或 a = b
• a ≤ b 当且仅当 ¬(b < a)

还有两个关联的次序是补关系 ≥ 和 >，它们一起构成四元组 {<, >, ≤, ≥}。

我们可以通过这四个关系中任何一个定义或解释集合全序的方式；符号蕴涵了我们谈论的是非严格的还是严格全序。

例子

• 字母表的字母按标准字典次序排序，比如 A < B < C 等等。

• 全序集合的任何子集，带有在整个集合上次序的限制。

• 所有的两个元素都是可比较的任何偏序集合 X (就是说，如果 a,b 是 X 的成员，则 a≤b 或 b≤a 中的一个为真或二者都是真)。

• 基数或序数(更强的说良序)的任何集合。

• 如果 X 是任何集合而 f 是从 X 到一个全序集合的单射函数，则 f 引发 X 上的全序，通过设立 x₁ < x₂ 当且仅当 f(x₁) < f(x₂)。

• 在用一个序数索引的那些全序集合的笛卡尔积的一个集合上的词典序自身是全序。例如，按字母表排序的字的任何集合是全序的，可看做通过向字母表增加空格符号(并定义空格小于任何字母)形成的集合的可数个复件的笛卡尔积的子集。

• 自然数集、整数集、有理数集和实数集用平常的小于(<)或大于(>)关系排序都是全序的。它们都可以被证实是带有特定性质的全序集合的唯一的(在同构内)最小实例(全序 A 是带有特定性质的最小的，如果只要 B 有这个性质，就有从 A 到 B 的子集的一个序同构):
  • 自然数集是最小的没有上界的全序集合。
  • 整数集是最小的没有上界也没有下界的全序集合。
  • 有理数集是最小的没有上界或没有下界的全序集合，它在 (a, b) 对于所有 a < b 是非空的意义上是密集的。
  • 实数集是最小的无界连通的全序集合。

参见

• 二元关系
• 偏序关系

引用

• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4