全形 (數學)

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數學群論中,一個群G全形Hol(G)是一個特定的群,同時包含群G和其自同構群Aut(G)。群的全形可用半直積交換群來描述。

以半直積描述[编辑]

記群G的自同構群為Aut(G),則G的全形Hol(G)是

\operatorname{Hol}(G)=G\rtimes \operatorname{Aut}(G)

其中的半直積是對於Aut(G)在G上的自然作用,因此全形上的運算如下:令(g,\alpha), (h,\beta)為Hol(G)的元,其中g, hG的元,\alpha, \betaG的自同構,則

(g,\alpha)(h,\beta)=(g\alpha(h),\alpha\beta)

以交換群描述[编辑]

G以左乘和右乘作用在自身的元素上,定義出兩個從GG上的對稱群Sym(G)的群同態。左乘對應的群同態為

\lambda:\ G\to\operatorname{Sym}(G)\lambda(g)(h)=g\cdot h

右乘對應的群同態為

\rho:\ G\to\operatorname{Sym}(G)\rho(g)(h)=h\cdot g^{-1}

這兩個群同態稱為G的左及右正規表示,並且都是單射凱萊定理)。換言之,G同構於\lambda(G)\rho(G)G的全形\operatorname{Hol}(G)\lambda(G)\operatorname{Sym}(G)中的正規化子

參考[编辑]

  • Hall, Marshall, Jr., The theory of groups, Macmillan, 1959, MR0103215