全微分

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

全微分英语total derivative)是微积分学的一个概念,指多元函数全增量\Delta z线性主部,记为\operatorname dz。例如,对于二元函数z=f(x,\ y),设f在P_0(x_0,\ y_0)的某个邻域内有定义,P(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)为该邻域内的任意一点,则该函数在点P_0(x_0,\ y_0)的全增量可表示为

\Delta z = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)

其中AB仅与xy有关,而与\Delta x\Delta y无关,\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}。若o(\rho)是当\rho \rightarrow 0时的高阶无穷小,则称此函数z=f(x,\ y)在点 (x,\ y)微分,而A\Delta x+B\Delta y即为函数z=f(x,\ y)在点P_0(x_0,\ y_0)的全微分,记作

\operatorname dz|_{x=x_0,\ y=y_0} = A\Delta x + B\Delta y

\operatorname df(x_0,y_0) = A\Delta x + B\Delta y

存在条件[编辑]

全微分繼承了部分一元函数實函數(定義域值域實數的函數)的微分所具有的性質,但两者间也存在差异。从全微分的定义出发,可以得出有关全微分存在条件的多个定理

充分条件[编辑]

一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是:此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续,则此函数在该点可微。对于二元函数,此定理可表述为:若二元函数z=f(x,\ y)在点(x_0,\ y_0)的某邻域内的偏导数f_x(x_0,\ y_0)f_y(x_0,\ y_0)存在,且偏导函数f_x(x,\ y)f_y(x,\ y)在点(x_0,\ y_0)都连续,则此函数在点(x_0,\ y_0)可微。需要注意的是,此条件并非充要条件,存在偏导函数不连续但是多元函数可全微分的情况。如果不满足这个充分条件,那么一个多元函数能否全微分则必须由定义加以证明,即验证\lim_{\rho \to 0} \frac {\Delta z - [f_x(x_0,\ y_0) \Delta x + f_y(x_0,\ y_0) \Delta y]}{\rho} = 0是否成立。

必要条件[编辑]

一个多元函数在某点的全微分存在的必要条件是:若多元函数在某点可微,则此函数在该点必连续。对于二元函数,此定理可表述为:若二元函数z = f(x,\ y)在点(x_0,\ y_0)可微,则此函数在点(x_0,\ y_0)必连续。

全微分存在另一个必要条件是:若多元函数在某点可微,则此函数在该点的全微分可表示为各自变量的变化量与该自变量在该点的偏导数之的和。对于二元函数,此定理可表述为:二元函数z=f(x,\ y)在点(x_0,\ y_0)可微,则此函数在点(x_0,\ y_0)的全微分为

\operatorname dz|_{(x_0,\ y_0)} = f_x(x_0,\ y_0) \Delta x + f_y(x_0,\ y_0) \Delta y

参见[编辑]