全微分方程

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

全微分方程常微分方程的一种,它在物理学工程学中广泛使用。

定义[编辑]

给定R2的一个单连通开子集D和两个在D连续的函数IJ,那么以下形式的一阶常微分方程

I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!

称为全微分方程,如果存在一个连续可微的函数F,称为势函数,使得

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = I

以及

\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = J.

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n),全导数为:

\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}.

例子[编辑]

函数

F(x,y) := \frac{1}{2}(x^2 + y^2)

是以下全微分方程的势函数。

xx' + yy' = 0.\,

势函数的存在[编辑]

在物理学的应用中,IJ通常不仅是连续的,也是连续可微的。施瓦茨定理(也称为克莱罗定理)提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程,这个条件也是充分的,我们便得出以下的定理:

给定以下形式的微分方程:

I(x, y)\, dx + J(x, y)\, dy = 0, \,\!

其中IJR2的单连通开子集D上是连续可微的,那么势函数F存在,当且仅当下式成立:

\frac{\partial I}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial J}{\partial x}(x, y).

全微分方程的解[编辑]

给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程,其势函数为F,那么D内的可微函数f是微分方程的解,当且仅当存在实数c,使得

F(x, f(x)) = c.\,

对于初值问题

y(x_0) = y_0\,

我们可以用以下公式来寻找一个势函数:

F(x,y) = \int_{x_0}^x I(t,y_0) dt + \int_{y_0}^y J(x,t) dt.

解方程

F(x,y) = c\,

其中c是实数,我们便可以构造出所有的解。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
  • Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
  • Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.