全期望公式

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全期望公式,即设X,Y,Z为随机变量,g(·)和h(·)为连续函数,下列期望和条件期望均存在,则

  1. \operatorname {E} (X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y));

运算过程[编辑]


\begin{align}
\operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right) &{} = \sum\limits_y \operatorname{E}(X|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y) \\
&{}=\sum\limits_y \left( \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=y) \\
&{}=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y) \\
&{}=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(Y=y|X=x) \cdot \operatorname{P}(X=x) \\
&{}=\sum\limits_x \sum\limits_y x \cdot \operatorname{P}(Y=y|X=x) \cdot \operatorname{P}(X=x) \\
&{}=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) \right) \\
&{}=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \\
&{}=\operatorname{E}(X).
\end{align}

参考[编辑]