全称量化

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谓词逻辑中,全称量化是尝试形式化某个事物(逻辑谓词)对于所有事物或所有有关的事物都为真的概念。结果的陈述是全称量化后的陈述,我们在谓词上有了全称量化。在符号逻辑中,全称量词(典型的 "∀")是用来指示全称量化的符号。

基础[编辑]

假设你要说的是

2·0 = 0 + 0,以及 2·1 = 1 + 1,以及 2·2 = 2 + 2,等等。

由于“以及”一词的重复使用,这似乎是一个逻辑合取。然而形式逻辑中的合取概念却不能表达出“等等”一词的含义。因此将该命题改述为

对任意自然数 n,都存在 2·n = n + n

这便是一个使用全称量化的单一命题。

请注意,事实上该命题比原命题更精确。很明显,“等等”一词表示的是要包括所有的自然数、且除此之外不包括任何其它内容,但语言中并没有明确地陈述这点,这便是“等等”一词不能被形式地解释的根本原因。

这个特定的例子中的命题是真值的,因为可以对 n 取任何自然数都使命题“2·n = n + n”成立。反之,命题“对任何自然数 n,都有 2·n > 2 + n”则是假值的,因为举例来说,将其中的 n 用 1 来取代,就能得到假命题“2·1 > 2 + 1”。尽管对“大多数”自然数 n 来说,命题“2·n > 2 + n”都成立,但只要存在一个反例便足以举证该全称命题为假。

另一方面,“对任何合数 n,都有 2·n > 2 + n”是真命题,因为所有的反例均不是合数。这说明了论域的重要性,其指定了 n 可以取哪些值。更多关于与量化命题一起使用论域的信息可以在《量化》一文中找到。然而特别地须注意,如欲将论域限定为仅由满足一特定谓词的对象组成时,则对全称量化来说,要使用一个逻辑条件来实现。例如,命题“对任何合数 n,都有“2·n > 2 + n”是逻辑等价于命题“对任何自然数 n,如果 n 为合数,则 2·n > 2 + n”的。这里的“如果……则”结构指出了逻辑的条件限制。

符号逻辑中,我们使用全称量词“∀”(一个倒置的无衬线体字母“A”)来说明全称量化。从而,若命题P(n)陈述的是“2·n > 2 + n”,且N是自然数的话,则

 \forall{n}{\in}\mathbf{N}\, P(n)

表示的即是(假)命题

“对任何自然数集n,都有 n, 2·n > 2 + n”。

类似地,若命题 Q(n) 陈述的是 “n 为合数”,则

 \forall{n}{\in}\mathbf{N}\, Q(n)\;\!\;\! {\rightarrow}\;\!\;\! P(n)

表示的是(真)命题

“对任何合数 n,都有 2·n > 2 + n”。

可在《量化》一文中找到(适用于所有形式的)量化符号表示的多种变化形式。这里给出一种仅用于表示全称量化的特殊符号表示:

 (n{\in}\mathbf{N})\, P(n)

默认情况下,圆括号表示的是全称量化。

性质[编辑]

否定[编辑]

注意到一个量化的命题函数的结果是一个命题;因此象命题一样,量化的函数也可被否定。数学家和逻辑学家用来表示否定的符号是:\lnot\

举例来说,定义 P(x) 为命题函数“x 已婚”;则对所有活人组成的论域 X,考虑全称量化“对给定的任何活人 x,此人都已婚”:

\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

只用几秒钟的考虑就能证明这个命题无可改变地为假;于是我们可以切实地说:“并非都是这样的情况,即:对给定的任何活人 x,此人都已婚”,或以符号记作:

\lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x).

花点时间来考虑,准确地说,对全称量词进行否定就意味:如果并非对论域中的每一个元素来说命题均为真的话,则必存在至少一个元素使命题为假。这就是说,对命题函数 P(x) 的否定是逻辑等价于“存在着某个没有结婚的 x 活人”的,或记作:

\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot\ P(x)

一般地,则有,对一个命题函数的全称量化的否定是该命题函数的否定的一个存在量化;可用符号表示为:

\lnot\ \lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \lnot\ ( \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot\ P(x))

推理规则[编辑]

推理规则是指由假设到结论的过程中证明一个逻辑步骤成立的规则。有若干推理规则利用了全称量词。

普遍例证(Universal instantiation)推定出的结论是这样的:若已知命题函数普遍成立,则其必对论域中任何随意给出的元素均成立。将此符号化地表示为

 \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \to\ P(c)

其中 c 是论域中可完全随意确定的某个元素。

普遍概括(Universal generalization)推定出的结论是这样的:若命题函数对论域中任何随意给出的元素均成立,则其普遍成立。以符号表示为:对某个可随意确定的 c

 P(c) \to\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)

特别重要的是必须注意到,c 必须是完全随意确定的;否则便不能遵循该逻辑:若 c 不是随意确定的、而是论域中的一个特定元素,则 P(c) 仅说明蕴意着该命题函数的某个存在量化可成立。

参考资料[编辑]

  • Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 1-568-81262-0. 
  • Franklin, J. and Daoud, A. Proof in Mathematics: An Introduction. Quakers Hill Press. 1996. ISBN 1-876192-00-3.  (ch. 2)

参见[编辑]