全等三角形

数学主題首頁

全等三角形指兩個全等的三角形，它們的三條邊及三個角都應對等。全等三角形是幾何中全等之一。根據全等轉換，兩個全等三角形可以平移、旋轉、把軸對稱，或重疊等。

全等的數學符號為： $\cong$

全等三角形的數學符號為： $\cong \triangle {s}$

[编辑] 定義

當兩個三角形的對應邊及角，完全相等，便是全等三角形。要驗證兩個全等三角形，會以三個相等部分來驗證。結果為：

$\triangle ABC \cong \triangle XYZ \,\!$ 全等符号为≌，s开口左上右下，不是左下右上，那个符号台灣中學八年級会学

[编辑] 性質

三角形ABC與三角形DEF全等。

全等三角形有以下性質：

它們的對應邊相等。
它們的對應角相等。

若三角形ABC與三角形DEF是全等時（如右圖），關係公式為：

$\triangle ABC \cong \triangle DEF \,\!$

下列三對邊長為「對應邊」：

$\overline{A B} \; \overline{D E}, \overline{B C} \; \overline{E F}, \overline{A C} \; \overline{D F}$

下列三對角為「對應角」：

$\angle A \; \angle D,\angle B \; \angle E,\angle C \; \angle F$

同時，所有對應邊長及角度均相等：

$\angle BAC = \angle EDF \,\!$
$\angle ABC = \angle DEF \,\!$
$\angle ACB = \angle DFE \,\!$
$\overline{A B} = \overline{D E} \,\!$
$\overline{A C} = \overline{D F} \,\!$
$\overline{B C} = \overline{E F} \,\!$

[编辑] 用途

因為多邊形可由多個三角形組成，所以利用此方法，亦可驗證其它全等的多邊形。

[编辑] 判定

全等三角形的判定。

下列五種方法均可驗證全等三角形：

SSS （Side-Side-Side）（邊、邊、邊）：三邊長度相等。
SAS （Side-Angle-Side）（邊、角、邊）：兩邊，且夾角相等。
ASA （Angle-Side-Angle）（角、邊、角）：兩角，且夾邊相等。
AAS （Angle-Angle-Side）（角、角、邊）：兩角，且非夾邊相等。
RHS （Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜邊、邊）：斜邊及另一條直角邊相等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形：

AAA （Angle-Angle-Angle）（角、角、角）：三角相等。
ASS （Angle-Side-Side）（角、邊、邊）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。

[编辑] SSS

這兩個三角形可以SSS來驗證全等。

如右圖

	$\triangle ABC$	$\triangle ACD$	原因
邊（一）	$\overline {A C}$	$\overline {A C}$	共同邊
邊（二）	$\overline {B C}$	$\overline {A D}$	已知
邊（三）	$\overline {A B}$	$\overline {C D}$	已知

$\triangle ABC \cong \triangle ACD \,\!$

[编辑] SAS

這兩個三角形可以用SAS驗證全等。

如右圖

	$\triangle ABC$	$\triangle ADC$	原因
邊（一）	$\overline {A C}$	$\overline {A C}$	共同邊
角	$\angle BAC$	$\angle DAC$	已知
邊（二）	$\overline {A B}$	$\overline {A D}$	已知

$\triangle ABC \cong \triangle ADC \,\!$

[编辑] ASA

這兩個三角形可以用ASA來驗證全等。

如右圖

	$\triangle ABC$	$\triangle AED$	原因
角（一）	$\angle BAC$	$\angle EAD$	共同角
邊（一）	$\overline {A C}$	$\overline {A D}$	已知
角（二）	$\angle ACB$	$\angle ADE$	已知

$\triangle ABC \cong \triangle AED \,\!$

[编辑] AAS

這兩個三角形可以用AAS來驗證全等。

如右圖

	$\triangle ABE$	$\triangle DCE$	原因
角（一）	$\angle AEB$	$\angle DEC$	對頂角
角（二）	$\angle BAE$	$\angle CDE$	已知
邊	$\overline {A B}$	$\overline {C D}$	已知

$\triangle ABE \cong \triangle DCE \,\!$

[编辑] RHS

這兩個三角形可以RHS來驗證全等。

如右圖

	$\triangle ABC$	$\triangle DFE$	原因
直角	直角ACB	直角DEF	已知
斜邊	$\overline {A B}$	$\overline {D F}$	已知
邊	$\overline {B C}$	$\overline {F E}$	已知

$\triangle ABC \cong \triangle DFE \,\!$

[编辑] 不能驗證全等三角形的判定

[编辑] AAA

AAA不能驗證三角形全等。

AAA（角、角、角），指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在幾何學上，當兩條線疊在一起時，便會形一個點和一個角。而且，若該線無限地廷長，或無限地放大，該角度都不會改變。同理，在左圖中，該兩個三角形是相似三角形，這兩個三角形的關係是放大縮小，因此角度不會改變。

這樣，便能得知若邊無限地根據比例加長，角度都保持不變。因此，AAA並不能判定全等三角形。

[编辑] ASS

ASS不能驗證三角形全等。

ASS（角、邊、邊），指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中，分別有三角形ABC及三角形DEF，並提供了以下資訊：

$\angle BAC = \angle EDF$
$\overline{A B} = \overline{D E}$
$\overline{B C} = \overline{E F}$

那即是ASS。假如在右圖繪畫一個圓形，中心點為點E，半徑為 $\overline{E F}$ 。透過這個圓形便會發現， $\angle EDF$ 和 $\overline{D E}$ 沒有改變下，會出現另一個與 $\overline{E F}$ 一樣長度的直線（即圖中的 $\overline{E G}$ ）。這樣便能證明ASS並不能驗證全等三角形，（除非那是直角三角形，但應稱為RHS）。

[编辑] 參見

[编辑] 外部連結