八元数
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也许是因为八元数不提供一个结合性的乘法，它们比四元数引起较少的注意。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑中也有应用。
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[编辑] 歷史
八元數第一次被描述於1843年，於一封约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中。後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。
[编辑] 定义
八元数可以视为实数的八元组。每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成
其中系数xa是实数。
八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。
| 1 | i | j | k | l | il | jl | kl |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i | −1 | k | −j | il | −l | −kl | jl |
| j | −k | −1 | i | jl | kl | −l | −il |
| k | j | −i | −1 | kl | −jl | il | −l |
| l | −il | −jl | −kl | −1 | i | j | k |
| il | l | −kl | jl | −i | −1 | −k | j |
| jl | kl | l | −il | −j | k | −1 | −i |
| kl | −jl | il | l | −k | −j | i | −1 |
[编辑] 凯莱-迪克松构造
一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数(a, b)和(c, d)的乘积定义为：
- (a,b)(c,d) = (ac − d * b,da + bc * )
其中z * 表示四元数z的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。
[编辑] 法诺平面记忆
一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也是一条直线），称为法诺平面。这些直线是有向的。七个点对应于Im(O)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。
设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：
- ab = c，ba = −c
以及它们的循环置换。这些规则与
- 1是乘法单位元，
- 对于图中的每一个点，都有e2 = − 1
完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了O的一个子代数，与四元数H同构。
[编辑] 共轭、范数和逆元素
八元数
的共轭为：
共轭是O的一个对合，满足(xy) * = y * x * （注意次序的变化）。
x的实数部分定义为½(x + x*) = x0，虚数部分定义为½(x - x*)。所有纯虚的八元数生成了O的一个七维子空间，记为Im(O)。
八元数x的范数定义为：
在这里，平方根是定义良好的，因为x * x = xx * 总是非负实数：
这个范数与R8上的标准欧几里得范数是一致的。
O上范数的存在，意味着O的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为：
它满足xx − 1 = x − 1x = 1。
[编辑] 性质
八元数的乘法既不是交换的：
也不是结合的：
然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上，我们可以证明，由O的任何两个元素所生成的子代数都与R、C或H同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。
八元数确实保留了R、C和H共同拥有的一个重要的性质：O上的范数满足
这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质。它们都有零因子。
这样，实数域上唯一的赋范可除代数是R、C、H和O。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。
由于八元数不是结合的，因此O的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。
[编辑] 自同构
O的所有自同构的集合组成了一个群，称为G2。群G2是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。
[编辑] 参见
[编辑] 参考文献
- Baez, John (2002), "The Octonions", Bull. Amer. Math. Soc. 39: 145-205. Online HTML version at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
- Conway, John Horton & Derek A. Smith (2003), On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9. (Review).
