八元数

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

八元数四元数的一个非结合推广,通常记为O,或\mathbb{O}

也许是因为八元数不提供一个结合性的乘法,它们比四元数引起较少的注意。尽管如此,八元数仍然与数学中的一些例外结构有关,其中包括例外李群。此外,八元数在诸如弦理论狭义相对论量子逻辑中也有应用。

歷史[编辑]

八元數第一次被描述於1843年,於一封约翰·格雷夫斯威廉·盧雲·哈密頓的信中。後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。

定义[编辑]

八元数可以视为实数的八元组。每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说,每一个八元数x都可以写成x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl,其中系数xa是实数。

八元数的加法是把对应的系数相加,就像复数四元数一样。根据线性,八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。

1 i j k l il jl kl
i −1 k j il l kl jl
j k −1 i jl kl l il
k j i −1 kl jl il l
l il jl kl −1 i j k
il l kl jl i −1 k j
jl kl l il j k −1 i
kl jl il l k j i −1

凯莱-迪克松构造[编辑]

一个更加系统的定义八元数的方法,是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样,八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数(a, b)和(c, d)的乘积定义为:

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})

其中z^{*}表示四元数z的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。

法诺平面记忆[编辑]

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法,由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线(经过ijk的圆也是一条直线),称为法诺平面。这些直线是有向的。七个点对应于Im(O)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上,而每一条直线正好通过三个点。

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点,其顺序由箭头的方向指定。那么,乘法由下式给出:

ab = cba = −c

以及它们的循环置换。这些规则与

  • 1是乘法单位元,
  • 对于图中的每一个点,都有e^2=-1

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了O的一个子代数,与四元数H同构。

共轭、範数和逆元素[编辑]

八元数

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl

的共轭为:

x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.

共轭是O的一个对合,满足(xy)^{*}=y^{*}x^{*}(注意次序的变化)。

x的实数部分定义为½(x + x*) = x0,虚数部分定义为½(x - x*)。所有纯虚的八元数生成了O的一个七维子空间,记为Im(O)。

八元数x範数定义为:

\|x\| = \sqrt{x^{*} x}

在这里,平方根是定义良好的,因为x^{*}x=xx^{*}总是非负实数:

\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2

这个範数与R8上的标准欧几里得範数是一致的。

O上範数的存在,意味着O的所有非零元素都存在逆元素x ≠ 0的逆元素为:

x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}

它满足xx^{-1}=x^{-1}x=1

性质[编辑]

八元数的乘法既不是交换的:

ij = -ji \neq ji\,

也不是结合的:

(ij)l = -i(jl) \neq i(jl)\,

然而,八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说,由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上,我们可以证明,由O的任何两个元素所生成的子代数都与RCH同构,它们都是结合的。由于八元数不满足结合性,因此它们没有矩阵的表示法,与四元数不一样。

八元数确实保留了RCH共同拥有的一个重要的性质:O上的範数满足

\|xy\| = \|x\|\|y\|

这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质。它们都有零因子

这样,实数域上唯一的赋範可除代数是RCHO。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数

由于八元数不是结合的,因此O的非零元素不形成一个群。然而,它们形成一个拟群

自同构[编辑]

八元数的自同构A,是O的可逆线性变换,满足:

A(xy) = A(x)A(y).\,

O的所有自同构的集合组成了一个,称为G2。群G2是一个单连通紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。

参见[编辑]

参考文献[编辑]