公式 (数理逻辑)

在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。

公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义(特定于一阶逻辑): 公式是相对于特定语言而定义的；就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数(arity)来指示它所接受的参数的数目。

[编辑] 定义

[编辑] 项的递归定义

一个变量

或

一个常量符号

或

$f(t_1,...,t_n)\,$ ，这里的 $f\,$ 是一个 n-元函数符号，而 $t_1,...,t_n\,$ 是项。

[编辑] 公式的递归定义

$t_1=t_2\,$ ，这里的 $t_1\,$ 和 $t_2\,$ 是项

或

$R(t_1,...,t_n)\,$ ，这里的 $R\,$ 是一个 n-元关系符号，而 $t_1,...,t_n\,$ 是项

或

(¬φ)，这里的 $\varphi\,$ 是公式

或

$(\varphi\land\psi)\,$ ，这里的 $\varphi\,$ 和 $\psi\,$ 是公式

或

$(\exists x)(\varphi)\,$ ，这里的 $x\,$ 是一个变量而 $\varphi\,$ 是一个公式。

[编辑] 解释

公式并不一定具备封闭形式（即不一定没有省略号）。

阶乘“！”、求和式“∑”和求积式“∏”等都隐含省略号。
排列数和组合数等都含有省略号。

按照通项公式去计算有时比按照定义去计算更加复杂。

斐波那契数列公式：

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} = {\varphi^n \over \sqrt{5}} - {(1-\varphi)^n \over \sqrt{5}}$

但是相比较按照这个公式计算 $f_{n}\,$ ，还是按照递归定义： $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}(n\ge3)\,$ 进行计算更方便。

[编辑] 原子公式

主条目：原子公式

[编辑] 参见

NIST數學函數