公理化集合论

公理化集合論是數學的一門分支。在數學中，公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。

集合論的公理

集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統，称為Zermelo-Fraenkel 集合論 (ZF)。實際上，這個名稱經常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理，當包括了選擇公理，這套系統被稱為ZFC。

1. 外延公理: 兩個集合相同，若且唯若它們擁有相同的元素。
2. 空集公理: 存在著一個不包含任何元素的集合，我們記這個空集合為{}。
3. 配對公理: 假如x, y為集合，那就有另一個集合{x,y}包含x與y作為它的僅有元素。
4. 並集公理: 每一個集合也有一個並集。也就是說，對於每一個集合x，也總存在著另一個集合y，而y的元素也就是而且只會是x的元素的元素。
5. 無窮公理: 存在著一個集合x，空集{}為其元素之一，且對於任何x中的元素y，y U {y}也是x的元素。
6. 分類公理（或子集公理）：給出任何集合及命題P(x)，存在著一個原來集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
7. 替代公理
8. 冪集公理: 每一個集合也有其冪集。那就是，對於任何的x，存在著一個集合y，使y的元素是而且只會是x的子集。
9. 正規公理 (or axiom of foundation): 每一個非空集合x，總包含著一元素y，使x與y為不交集。
10. 選擇公理: (Zermelo's version) 給出一個集合x，其元素皆為互不相交的非空集，那總存在著一個集合y（x的一個選擇集合），包含x每一個元素的謹謹一個元素。

引用

• Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
• Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.
• Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

參考條目

• 可替代的集合論
• Beth number
• 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
• 對角論證法
• 康托爾定理
• Implementation of mathematics in set theory
• Internal set theory
• Kripke-Platek set theory with urelements
• List of set theory topics
• 模型論
• Morse-Kelley set theory
• 樸素集合論
• 新基礎集合論
• Simple theorems in the algebra of sets
• 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論
• Zermelo-Fraenkel 集合論
• 佐恩引理

外部链接

• Metamath: A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica done right.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Set Theory -- by Thomas Jech.
  • Quine's New Foundations -- by Thomas Forster.
  • Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
• Randall Holmes's bibliography for set theories allowing a universal set.
• Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory." Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to New Foundations.
• Axioms of Set Theory at ProvenMath

For information on the history of set theory notation, see:

• The history of set theory and logic notation.