外共变导数

在数学中，外共变导数（exterior covariant derivative），时或称为共变外导数（covarian texterior derivative），是流形上的微积分（calculus on manifolds）中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 $\phi$ 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为：

$D\phi(X_0,X_1,\dots,X_k)=\mathrm{d}\phi(h(X_0),h(X_1),\dots,h(X_k))$

这里 h 表示到水平子空间的投影， $H_x$ 由联络定义，其核为该纤维丛的全空间切丛的 $V_x$ （铅直子空间）。这里 $X_i$ 是 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有

$D^2\phi=\Omega\wedge\phi$

这里 $\Omega$ 表示曲率形式。特别的 $D^2$ 对平坦联络消没。

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