共变导数

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数学上,共变导数或称协变导数是在流形上定义沿着向量场导数的方法之一。

事实上,除了引入的风格不同之外,共变导数和联络没有实质上的区别。

黎曼伪黎曼流形理论中,共变导数通常指列維-奇維塔聯絡

这里,我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介;张量的共变导数是同一概念的推广。

本条目中,我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。

一般概念[编辑]

向量u的沿着向量v共变导数 \nabla (也写作D)是一个定义第三个称为\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} (也作 Dvu)的向量的规则,它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象,和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后,这个导数和向量基自身的变换规则相同(共变变换),所以有这个名字。

欧几里得空间的情形,如果有一个标准正交坐标系,一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数。

在这样的系统中,平移其中一个向量到另一个的原点,保持和原来的向量平行。这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数。

但是在一般情况,我们必须把坐标系的变化考虑在内。在弯曲空间中,例如地球表面(作为一个球面),平移没有严谨的定义,而和它相似的概念,平行移动,依赖于向量被平移的路径。例如,在二维欧几里得平面极坐标中,导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何“转动”。在其他的情况下,还有额外的项描述坐标格点如何扩张,收缩,扭转,交织,等等。

极坐标中的曲线

这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在曲线参数 t 的向量(比如说加速度,不在图中)可以表达在坐标系({\mathbf e}_r, {\mathbf e}_{\theta})中,其中{\mathbf e}_r{\mathbf e}_{\theta}是极坐标中的单位切向量,用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底。稍后,极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动。基向量的共变导数(克里斯托费尔符号可以表达这个变化)。

(可能最好不要把t看作时间参数,至少在广义相对论的应用中不要这样。它只是一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化。)

在球面上的平行移动

另一个例子:向量e在球上位于赤道上的一点Q,方向朝北。假设我们首先沿着赤道平行移动该向量直到P(然后保持它和自己平行))着子午线把它拖到北极N然后(保持方向)继续沿着另一条子午线移动它回到Q。然后我们注意到沿着封闭回路平行移动的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向。这在欧氏空间不会发生,它发生的原因是球的曲面上的曲率。如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回,我们会看到同样的现象。向量的无穷小变化是曲率的一个测量。


备注[编辑]

定义中的向量 uv 是定义在同一点 p 的。而且共变导数\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u} 也是 p 的一个向量。

共变导数的定义不用空间的度量。但是,一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数,称为列维-奇维塔联络

导数的性质暗示者\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}依赖于p周围的情况,就像标量函数在一点p沿着曲线的导数依赖于p点周围一样。

共变导数在一个固定的坐标图中,可以用张量描述,但是它不是一个张量,因为它不是在坐标变换下不变的。

在共变导数中关于点 p 围的信息可以用来定义向量的平行移动。而且曲率挠率测地线也可以只用共变导数来定义。

偶尔,术语“共变导数”指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量截面的导数;参看“联络形式”中的“向量丛”的有关章节。

形式化定义[编辑]

函数[编辑]

给定一个函数f, 共变导数\nabla_{\mathbf v}f和实函数在向量v方向的通常导数相同,通常记为{\mathbf v}f 或者 df({\mathbf v})

向量场[编辑]

向量场{\mathbf u} 在向量{\mathbf v} 方向的共变导数 \nabla记为\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} 对任意向量场 u, v, w 和标量函数fg由下列性质定义:

  1. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} 对于{\mathbf v} 代数式线性所以\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}
  2. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} 对于{\mathbf u}可加,所以\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}
  3. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} 遵守乘积法则, 也就是说 \nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f 其中\nabla_{\mathbf v}f定义在上面。

注意\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}在点p依赖于vp点的值以及up的一个邻域的值,因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。

餘向量場[编辑]

给定餘向量场(或者说1-形式) \alpha,其共变导数 \nabla_{\mathbf v}\alpha 可以用下边的对于所有向量场u都满足的恒等式来定义

\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).

餘向量场沿着一个向量场v的共变导数还是一个餘向量场。

张量场[编辑]

一旦定义了向量和余向量场的共变导数,它就可以定义到任一张量场上,这要用如下的恒等式,其中\varphi\psi是任意两个张量:

\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),

并且,若\varphi\psi是同一个张量丛的张量场,则

\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.

沿着向量场v的共变导数也还是同类型的张量场。

坐标表示[编辑]

给定坐标函数x^i,\ i=0,1,2,...,任何切向量都可以用它的在基e_i={\partial\over\partial x^i}中的分量表示。 共变导数是一个向量,所以可以表示为基向量的线性组合Γkek,其中Γk 是分量(参看爱因斯坦记号)。 要给定共变导数,给定每个基向量场ej 沿着ei的共变导数就可以了

 \nabla_{{\mathbf e}_i} {\mathbf e}_j =  \Gamma^k {}_{i j} {\mathbf e}_k,

系数Γki j称为克里斯托费尔符号。 然后使用定义中的规则,我们发现对于一般的向量场 {\mathbf v}= v^ie_i and {\mathbf u}= u^ie_i 可以得到

 \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} = (v^i u^j \Gamma^k {}_{i j}+v^i{\partial u^k\over\partial x^i}){\mathbf e}_k,

这个公式的第一项代表了坐标系对于共变导数的"扭转",而第二项代表了向量场u的分量的变化。特别的有

\nabla_{{\mathbf e}_j} {\mathbf u}=\nabla_j {\mathbf u} = \left( \frac{\partial u^i}{\partial x^j} + u^k \Gamma^i {}_{jk} \right) {\mathbf e}_i

用语言描述的话: 共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中,共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。

一个常用的记法是,用一个分号表示共变导数,而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下,我们把同样的公式写作::


          \nabla_j {\mathbf v} \equiv v^i {}_{;j} \;\;\;\;\;\;
          v^i {}_{;j}  = 
          v^i {}_{,j} + v^k\Gamma^i {}_{k j}

这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到  v^i {}_{,j},而且是通过 v^k\Gamma^i {}_{k j}依赖于向量v本身的。

相關條目[编辑]