共變和反變
在數學裏，反變（contravariant）和共變（covariant）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。
反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必須的數學基礎。
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轉換方式 [编辑]
向量：反變轉換 [编辑]
- 標記法說明：向量
是向量空間 
的元素。向量基底 
構成了向量空間的一個基底的，而 
則表示 的分量。
（註：
不代表平方，而是代表坐標，在較基礎的數學上，常寫作 
。）
V有另一個基底 
，對應這個基底，
有分量 
。對於1...n之間其中一個特定的整數 
，我們知道 
和 
的關係：
。
。使用愛因斯坦求和約定可寫成：
。
。餘向量：共變轉換 [编辑]
對於V的基底 
，有屬於V*（V的對偶空間）的對偶基底 
。
對於1...n之間其中一個特定的整數 ，我們知道 
和 的關係：
。
。使用愛因斯坦求和約定寫成：
。
。向量的共變分量和反變分量 [编辑]
在歐幾里得空間 
裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 
，通過下述方程式，向量 和線性泛函 
，唯一地確定了餘向量 ：
。
。逆過來，通過上述方程式，線性泛函 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予 的一個基底 
，則必存在一個唯一的對偶基底 
，滿足
；
；其中，
是克羅內克函數。
以這兩種基底，任意向量 可以寫為兩種形式
![\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}]\\
&=\sum_i v_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}^\sharp]
\end{align}
\,\!](//upload.wikimedia.org/math/b/2/8/b28a8812a9da6bc4f921bfd8f3ec13ae.png)
；
![\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}]\\
&=\sum_i v_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}^\sharp]
\end{align}
\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/b/2/8/b28a8812a9da6bc4f921bfd8f3ec13ae.png)
其中，![v^i[\mathfrak{f}]\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/5/b/b/5bba3ac6edb300cc9c7d523d9c6db18f.png)
是向量 對於基底 
的反變分量，![v_i[\mathfrak{f}]\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/d/6/6/d669d6235f175ad9a021ae96818130e9.png)
是向量 對於基底 的共變分量，
歐幾里得空間 [编辑]
，可以求得其反變分量 
；將向量 
。在歐幾里得空間Ｒ3裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 
、
、
，就可以計算其對偶基底的基底向量：
；
；其中，
是三個基底向量 、 、 所形成的平行六面體的體積。
反過來計算，
；
；其中，
是三個基底向量 
、
、
所形成的平行六面體的體積 。
雖然 
與 
並不相互標準正交，它們相互對偶：
。
。這樣，任意向量 
的反變坐標為
。
。類似地，共變坐標為
。
。這樣， 可以表達為
，
，或者，
。
。綜合上述關係式，
。
。向量 的共變坐標為
；
；其中，
是度規張量。
向量 的反變坐標為
;
;其中，
是共軛度規張量。
共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。
在相對論上的應用 [编辑]
根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。
