共轭转置

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

矩阵 A共轭转置A^*(又称埃尔米特共轭埃尔米特转置)定义为:

(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}

其中(\cdot)_{i,j}表示矩阵i行j列上的元素,\overline{(\cdot)}表示标量复共轭

这一定义也可以写作:

A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}

其中A^\mathrm{T} \,\!是矩阵A的转置\overline{A}\,\!表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置:

注意:某些情况下A^* \,\!也指仅对矩阵元素取复共轭,而不做矩阵转置,切勿混淆。

例子[编辑]

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.

基本评注[编辑]

如果A的元素是实数,那么A*A的转置AT相等。把复值方块矩阵视为复数的推广,以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。

元素为a_{ij}的方块矩阵A称为:

即使A不是方块矩阵,A*AAA*仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵

性质[编辑]

  • 若矩阵AB维数相同,则(A + B)* = A* + B*
  • (rA)* = r*A*,其中r为复数,r*r的复共轭。
  • (AB)* = B*A*,其中Amn列的矩阵,B为n行p列矩阵。
  • (A*)* = A
  • A方阵,则det(A*) = (det A)*,且tr(A*) = (tr A)*
  • A可逆矩阵当且仅当 A*可逆,且有(A*)−1 = (A−1)*.
  • A*特征值A的特征值的复共轭。
  • <Ax,y> = <x, A*y>,其中Amn列的矩阵,复向量x为n维列向量,复向量y为m维列向量,<·,·>为复数的内积

推广[编辑]

  • 从上面给出的最后一个性质可以推出,如果我们把A视为从希尔伯特空间CnCm线性变换,则矩阵A*对应于A自伴算子。于是,希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。

外部链接[编辑]