冪零群

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群論裡,冪零群為一擁有幾乎可換之特殊性質的,經由交換子([x,y] = x-1y-1xy)的重複應用。冪零群誕生於伽羅瓦理論和對群的分類之中。其對李群的分類亦具有很重要的功用。

定義[编辑]

首先先定義群G降中央列,其為一系列的群G = A0A1A2、...、Ai,其中每個Ai+1 = [Ai, G]為所有由Ai中的xG中的y所算出的所有交換子[x,y]所產生出來的G子群。因此,A1=[G,G]=G1G导群,而A2 = [G1, G],以此類推。

G為可換的,則[G,G] = E,即為其當然子群。將此一概念延伸,則可定義一個群G冪零的,若其存在一自然數n使得An為當然的。若n為可使得An的最小自然數,則稱此一群Gn級冪零。每一個阿貝爾群都是1級冪零,除了當然群之外,其為0級冪零。若一個群為至少m級冪零,則有時稱其為零m群。

做為證明此一名詞冪零使用的正當性,先取一冪零群G及其內一元素g並定義一函數f: GGf(x) = [x,g]。則這一函數為冪零的,因為其存在一自然數n使得fnfn次遞迴-將每一個G內的元素x映射至單位元素

另一個定義冪零群的等價方法為採取升中央列之方式,其為一系列的群E = Z0Z1Z2、...、Zi,其中每個接續的群之定義為:

Z_{i+1} = \{x\in G | \forall y\in G:[x,y] \in Z_i \}

在此定義下,Z1G中心,且對於其每個接續的群而言,其商群Zi+1/Zi皆為G/Zi的中心。對一阿貝爾群來說,Z1簡單為G;而一個群被稱為n級冪零,若有一最小的n使得Zn = G

上述兩種定義為等價的:降中央列會到達其當然子群E若且唯若其升中央列可以達到G;此外,其n最小值在兩者中也會是一樣的。

例子[编辑]

如上面所述,每一個阿貝爾群均為冪零。

一個小的非阿貝爾群之例子為四元群Q8。其有兩個元素{1, −1}所組成的中心,且其降中央列為{1}、{1, −1}、Q8;所以其為2級冪零。實際上,每個有限多個有限p-群的直積皆是冪零的。

海森堡群為非阿貝爾冪零群的另一個例子。

性質[编辑]

當每個接續的商群Zi+1/Zi皆為可換的,其序列為有限個的,且每一個冪零群都為一具有較簡單結構的可解群

每一個n級冪零群的子群均為至少n級冪零;另外,若fn級冪零群的同態f的值域則為至少n級冪零的。

下列的敘述在有限群中均為等價,表現出一個冪零性的有用性質:

最後一個敘述可以被延伸至無限群的狀況下:若G為一冪零群,則G的每一個西洛子群Gp都是正規的,且其西洛子群的直積會是G內有限目的所有元素所組成之子群。(見撓子群)。