冯·诺伊曼全集

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集合论和有关的数学分支中,冯·诺伊曼全集冯·诺伊曼集合层次是分解到个体集合的超限等级中的所有集合

它可以用超限归纳法定义为如下:

 V_\lambda := \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \! .
  • 最后,设 V 是所有 V-阶段的并集:
 V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha \! .

等价的说,对于任何序数 α,设 V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta) \! ,这里的 \mathcal{P} (X) \! 是 X 的幂集

V 和集合论[编辑]

如果 ω 是自然数的集合,则 Vω继承有限集合的集合,它是不带有无穷公理的集合论的模型Vω+ω普通数学全集。它是 Zermelo 集合论的模型。如果 κ 是不可及基数,则 VκZermelo-Fraenkel 集合论自身的模型,而 Vκ+1Morse–Kelley 集合论的模型。

注意所有个体阶段 Vα 都是集合,但是它们的并集 V真类。在 V 中的集合叫做继承良基集合基础公理要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。(其他公理系统,忽略基础公理,或替代它为强否定的公理如 Aczel 的反基础公理,是可能的但很少被用到)。

给定任何集合 A,使得 AVα 的子集的最小的序数 α 是 A(或继承等级)。

哲学观点[编辑]

有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集 VZFC 的联系。粗略的说,形式主义者想把 V 看作是从 ZFC 公理推出的某种东西(例如,ZFC 证明了所有集合在 V 中)。在另一方面,现实主义者想把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西,而把 ZFC 公理看作在我们可以直接用自然语言讨论的在 V 中为真的命题。一个可能的中间立场是冯·诺伊曼层次的精神化身提供给 ZFC 公理一个动机(所以它们不是任意性),但是不必需描述真实存在的对象。

参见[编辑]