冯·诺伊曼全集

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集合论和有关的数学分支中,冯·诺伊曼全集冯·诺伊曼集合层次,是由所有集合組成的,可以分成超限階级的个体集合(a transfinite hierarchy of individual sets)。

它可以用超限归纳法定义为如下:

 V_\lambda := \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \! .
  • 最后,设 V 是所有 V-阶段的并:
 V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha \! .

等价的说,对于任何序数 α,设 V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta) \! ,这里的 \mathcal{P} (X) \! 是 X 的幂集

V 和集合论[编辑]

如果 ω 是自然数的集合,则 Vω继承有限集合的集合,它是不带有无穷公理的集合论的模型Vω+ω普通数学全集。它是 Zermelo 集合论的模型。如果 κ 是不可及基数英语Inaccessible cardinal,则 VκZermelo-Fraenkel 集合论自身的模型,而 Vκ+1Morse–Kelley 集合论的模型。

注意所有个体阶段 Vα 都是集合,但是它们的并集 V真类。在 V 中的集合叫做继承良基集合基础公理要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。(也有的公理系统忽略基础公理,或把基础公理替換為其強否定,如 Aczel 的反基础公理,不過這類系統很少被用到)。

给定任何集合 A,使得 A 是某個 Vα 的子集的最小序数 α 是 A(或继承等级)。

哲学观点[编辑]

有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集 VZFC 的联系。粗略的说,形式主义者傾向於把 V 看作是从 ZFC 公理推出的某种东西(例如,ZFC 证明了所有集合都在 V 中)。在另一方面,实在論者會把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西,而把 ZFC 公理看作在 V 中为真的命题,透過簡單論證(透過自然語言),可以使人信服它們的真確性。一个可能的中间立场是,冯·诺伊曼层次的形象化概念给 ZFC 公理提供了一个动机(所以這些公理不是任意提出來的),但這不意味 ZFC 公理確實有描述真实存在的对象。

参见[编辑]