冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论

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在数学基础中，冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起（ZFC）同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理而不使用公理模式。

首先由冯·诺伊曼在1920年代公式化，在1937年开始由保罗·博内斯修改，在1940年由哥德尔进一步简化。

不像ZFC，NBG只有有限多个公理。Richard Montague在1961年证明，不可能找到在逻辑上等价于ZFC的有限数目的公理；因此NBG的语言有能力谈论真类同谈论集合一样，并且关于集合的陈述在NBG中是可证明的，当且仅当它在ZFC中是可证明的（就是说NBG是ZFC的保守扩展）。

理论

这个理论的标志特征是类和集合的分离。类可以非常大——实际上你可以谈论“所有集合的类”。但是有一个结构性限制防止你推测“所有类的类”或“所有集合的集合”。

成员关系

$a \in s$

只定义在 $a$ 是集合而 $s$ 是集合或类的条件下。

类的开发镜像了朴素集合论的开发。给出了抽象的原则，因此可以用类形成带有成员关系的谓词演算的任何陈述。等式、配对、子类的概念都是定义而不是公理的事情——定义们指示了一个公式的特定抽象。

集合的开发进行得非常类似于ZF。有一个谓词“Rp”定义如下:

$\mathrm{Rp}(A,a) := \forall x(x \in A \iff x \in a)$

就是说，一个集合 a 表示（represent）一个类 A，如果 a 的所有元素都是 A 的元素，反之亦然。有些类没有表示，比如不包含自身的所有集合的类。这样的类叫做真类。

这种系统的优点是提供了谈论“大对象”的脚手架而不涉险悖论。在范畴论的某些开发中，比如，你把一个大范畴指示为其对象的搜集和态射的搜集可以被表示为真类的范畴。在另一方面，小范畴是其中的对象和态射“适合”于集合的范畴。因此我们可以容易的谈论“所有小范畴的范畴”而没有麻烦。当然这是个大范畴。

NBG的公理化

在本节中提供一个NBG的公理化（实际上有两个不同的公理化，第二个精致了第一个）。比较于Morse-Kelley集合论的公理化。

我把NBG看作两种类（two-sorted）的理论，小写字母充当集合变量而大写字母充当类变量。成员关系的陈述需要有如下形式之一： $x \in y$ 或 $x \in Y$，而等式的陈述需要有如下形式之一 $x=y$ 或 $X=Y$。通过符号滥用，我们把 $(\forall x.x \in a \leftrightarrow x \in A)$ 写为 a=A。

这个理论也可以被表达为单种类（one-sorted）的理论，通过如下定义来区分集合和类：一个类是集合，如果它是另一个类的元素。

公理如下，不带类字样的公理是关于集合的。

• 类外延性公理：$(\forall x.x \in A \leftrightarrow x \in B)\rightarrow A=B$: 有相同元素的类是相同的。
• 外延性公理：$(\forall x.x \in a \leftrightarrow x \in b)\rightarrow a=b$: 有相同元素的集合是相同的。
• 类概括公理（模式）：限制公式 $\phi$ 的量詞只能修飾集合，而不允許修飾類（$\phi$可以包含类和集合参数），任何符合這條件的公式，都存在一个對應的类 A 使得对于所有 x，$x \in A \leftrightarrow \phi$。

在樸素集合論裡，使用非限定的公式構成集合，是產生悖論原因。在NBG系統裡，限制公式的量詞只能用來修飾集合而不允許修飾類，並藉此有加以限制的公式構成一個類，從而避免了樸素集合論的悖論。

若改為限制公式的量詞只能用來修飾集合，而不允許修飾類，這樣它就不再是有限的公理化的，可由另一個理论叫做 Morse-Kelley 集合论來描述。

• 配对公理：对于任何集合 x 和 y，有一个集合 $\{x,y\}$ 它的元素精确的是 x 和 y。

注意这个公理允许有序对的定义，并与类概括一起允许把在集合上的关系实现为类（和特定的类关系同一化为从一个类到另一个类的函数、单射和双射）。

• 大小限制公理：对于任何类 C，存在一个集合 x 使得 $Rp(C,x)$ (謂 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一樣)，当且仅当没有在 C 和所有集合的类 V 之间的双射。

这个公理贡献自冯·诺伊曼，并一下实现了分离公理、替代公理和全局选择公理。如果需要的话，它可以被弱化为“任何其定义域被包含在一个集合中的类函数的值域等于一个集合”；这将去除选择公理（如果需要可以把它替代为更加有用的局部形式的选择公理）。完全的大小限制公理蕴涵了全局选择公理，因为序数的类不是集合，所以有从序数到全集的双射。

• 并集公理：对于任何集合 x，存在一个集合 y ： a 是 y 的元素當且僅當 a 是 x 裡面其中一個元素的元素。
• 幂集公理：对于任何集合 x，存在一个集合 y ： a 是 y 的元素當且僅當 a 是 x 的子集。
• 无穷公理：存在一个集合 y，空集是 y 的元素，且對每個 y 的元素 a ， $a \cup \{a\}$ 也是 y 的元素。(此公理不限定 y 只能有前兩者可以生成的元素)
• 类基础（正规）公理：若類 A 不是空類，則存在類 A 的元素 x，使得 x 與 A 不具有共同元素(可以理解為不相交)。

與分类概括公理(模式)等價的一組公理

我們可以用幾個公理來取代 NBG 的类概括公理模式。 我們將用以下的公理作為例子，但不保证它是個正式的方法。

• 集合公理：对于任何集合 x，有一个类 X 使得 x=X。

这个公理给予我们起始的东西（结合上第一个公理化中的关于集合存在的那些公理），并且处理在公式中的集合参数（parameter）。

注意如果 $A=\{x \mid \phi\}$ 且 $B=\{x \mid \psi\}$，则 $\{x \mid \neg\phi\} = V-A$ 且 $\{x \mid \phi\wedge \psi\} = A \cap B$。则足够处理所有命题连结词。

• 补类公理：对于任何类 A，补集 $V-A = \{x \mid x \not\in A\}$ 是类。
• 交类公理：对于任何类 A 和 B，交集 $A \cap B = \{x \mid x \in A \wedge x \in B\}$ 是类。

现在我们需要处理量化。为了处理多个变量，我们需要能够表示关系。有序对 $(a,b)$ 被定义为平常的 $\{\{a\},\{a,b\}\}$（我们假定了其他 NBG 公理所以有配对）。

• 积类公理：对于任何类 A 和 B，类 $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \wedge b \in B\}$ 是类（$V \times A$ 实际上就是我们所需要的全部）。
• 类逆转公理：对于任何类 R， 类 $Conv1(R) = \{(b,a)\mid (a,b)\in R\}$ 和 $Conv2(R) = \{(b,(a,c)) \mid (a,(b,c)) \in R\}$ 存在。
• 类结合公理：对于任何类 R，类 $Assoc1(R) = \{((a,b),c)) \mid (a,(b,c)) \in R\}$ 和 $Assoc2(R) = \{(d,(a,(b,c))) \mid (d,((a,b),c))) \in R\}$ 存在。

通过这些公理，我们可以自由的增加虚（dummy）实际参数（argument）并在任意元数关系中重新安排的实际参数的次序。结合公理的特殊形式被完全设计用来使把在实际参数列表中任何项提到前面成为可能（加上逆转公理的辅助）。我们把实际参数的列表 $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 表示为 $(x_1,(x_2,\ldots,x_n))$（它是第一个实际参数作为它的第一个投影而实际参数列表的“尾部”作为它的第二个投影的有序对）。想法是应用 Assoc1 直到这个要提到前面的实际参数被提成第二个参数，接着应用适合的 Conv1 或 Conv2 把第二个参数提到前面，接着应用 Assoc2 直到最初应用 Assoc1 的效果（现在在被移动的实际参数后面的那些实际参数）被改正。

现在我们观察到如果 $\{(x,y)\mid \phi(x,y)\}$ 存在，则集合 $\{y \mid (\exists x.\phi(x,y))\}$ 简单的是把被考虑为关系的第一个集合的值域。全称量词依据存在量词和否定来定义。

• 类值域公理：对于任何类 R，类 $Rng(R) = \{y \mid (\exists x.(x,y)\in R)\}$ 存在。可以使用前面的公理重新安排实际参数来把任何单一实际参数提到参数列表的前面来被量化。

现在我们需要专注于由原子公式表达的关系。

• 类成员公理：类 $[\in] = \{(x,y) \mid x\in y\}$ 存在。
• 类对角公理：类 $[=] = \{(x,y) \mid \,x=y\}$ 存在。

对角公理加上虚实际参数和实际参数的重新安排，可以被用来建造断言它的参数中任何两个的等式的关系；它可以被用来处理重复的变量。

引用

• Bernays, Paul. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. 1991. ISBN 0-486-66637-9. 
• John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
• Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.
• Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.

• von Neumann-Bernays-Gödel set theory on PlanetMath