几何中心

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三角形的中心

n 空间中一个对象 X几何中心形心是将 X 分成相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说,它是 X 中所有点的平均。如果一個物件質量分佈平均,形心便是重心

如果一个对象具有一致的密度,或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心,那么它的几何中心和质量中心重合,该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心,可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的惟一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

性質[编辑]

一个对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部,比如一个环或的几何中心不在内部。

三角形的中心[编辑]

Triangle centroid 1.svg Triangle centroid 2.svg

形心三角形幾何中心,通常也称为重心,三角形的三條中线頂點和對邊的中點的連線)交點,此點即為重心[1]

三條中線共點證明[编辑]

三條中線共點證明

西瓦定理逆定理可以直接證出:

\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB}=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}=1

因此三線共點。[2]


中心分每条中线比为 2:1,这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的 1/3。如右图所示:

如果三角形是由均匀材料做成的薄片,那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说,如果三顶点位于(x_a, y_a)(x_b, y_b),和 (x_c, y_c),那么几何中心位于:

\Big(
  \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a+x_b+x_c),\;
  \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y_a+y_b+y_c) \Big) 
= \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a, y_a)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_b, y_b)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_c, y_c).

三角形的中心一般用字母 G 表示。在任何一个三角形中,外心 O、中心 M九点圆圆心 F垂心 H 四点共线,且 \overline{OG}:\overline{OF}:\overline{OH} = 1: 2: 3 。这个定理最早由欧拉证明,故称为欧拉定理,这条线称为欧拉线。类似的有,内心 I、中心 G奈格尔点 N 三点共线,且 \overline{IG}: \overline{IN} = 1: 3

三角形中心的等角共轭点称为类似重心

中心分中线为2:1的证明[编辑]

设三角形 ABC 的中线 ADBECF 交于三角形的中心 G,延长 AD 至点 O 使得

 AG = GO. \,

那么三角形 AGEAOC 相似(公共角 AAO = 2 AGAC = 2 AE),所以 OC 平行于 GE。但是 GEBG 的延长,所以 OC 平行于 BG。同样的,OB 平行于 CG

从而图形 GBOC 是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分,对角线 GOBC 的交点使得 GD = DO,这样

 GO = GD + DO = 2GD. \,

所以, AG = GO = 2GD\,,或  AG:GD = 2: 1\,,这对任何中线都成立。

性質[编辑]

\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)
bc : ca : ab = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \csc A : \csc B : \csc C

四面体的中心[编辑]

类似三角形的中心的结论对四面体也成立,四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成 3:1。这个结论能自然推广到任何 n-维单形。如果单形的顶点集是 {v_0,...,v_n},将这些顶点看成向量,几何中心位于:

\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i \; .

多边形的中心[编辑]

一个由 N 个顶点( xi , yi ) 确定的不自交闭多边形的中心能如下计算: [4]

记号 ( xN , yN )与顶点 ( x0 , y0 )相同。多边形的面积为:

A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

多边形的中心由下式给出:

C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)
C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

有限点集的中心[编辑]

给定有限点集 x_1,x_2,\ldots,x_k 属于 \mathbb{R}^n,它们的中心定义 C

C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}

面积中心[编辑]

面积中心和质量中心非常类似,面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的,质量中心将位于面积中心。 [5]

对于两部分组成的图形,将有如下等式:

 \overline{y} = \dfrac{\overline{y_1}A_1 + \overline{y_2}A_2}{A_1 + A_2}

\overline{y} 是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。A 是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时,先计算各部分的面积中心,然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心:

 \overline{x} = \frac{\sum \overline{x_i}A_i}{\sum A_i}
 \overline{y} = \frac{\sum \overline{y_i}A_i}{\sum A_i}

这里从 y-轴到中心的距离是 \overline{x},从 x-轴到中心的距离是 \overline{y},中心的坐标是(\overline{x} , \overline{y})

积分公式[编辑]

一个平面图形的中心的横坐标 (x 轴) 由积分

C_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx} 给出。

这里 f(x) 是对象位于在横坐标 xy 轴上的长度,是在 x 图形的测度。这个公式能由区域关于 y-轴的第一矩en:First moment of area)得出。

这个过程等价于取加权平均。假设 y-轴表示频率,x-轴表示欲求平均值的变量,那么沿着 x-轴的中心即 \bar{x}。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数 n,由相同的公式得出 \R^n 中一个对象的中心第一个坐标,假设 f(x) 是对象在坐标 x 的截面(也就是说,对象中第一个坐标为 x 的所有点的集合)的(n-1)-维测度。

注意到分母恰是对象的 n- 维测度。特别的,在 f 为正规时,即分母为 1,中心也称为 f平均

当对象的测度为 0 或者积分发散,这个公式无效。

圆锥和棱锥的中心[编辑]

圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上,分比为3:1。

对称中心[编辑]

如果中心确定了,那么中心是所有它对称群不动点。从而对称能全部或部分确定中心,取决于对称的种类。另外可以知道,如果一个对象具有传递对称性,那么它的中心是不确定的或不在内部,因为一个传递变换群没有不动点。

地理中心[编辑]

地理学中,地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心

参见[编辑]

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]