凯勒流形

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数学中,一个凯勒流形Kähler manifold)是具有满足一个可积性条件结构(一个U(n)-结构)的流形。特别地,它是一个黎曼流形 [1]复流形以及辛流形,这三个结构两两相容。

这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集

U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n).

若没有任何可积性条件,类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的(但複结构不要求),则这个概念是殆凯勒流形;如果複结构是可积的(但辛结构不要求),则为埃尔米特流形

凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名,在代数几何中占有重要的地位:它们是複代数簇的一个微分几何推广。

定义[编辑]

带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形;凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形,它有多种等价的表述

凯勒流形可以多种方法刻画:它们通常定义了具有一个附加结构的复流形(或具有附加结构的辛流形,或具有附加结构的黎曼流形)。

可以将这三个结构之间的联系总结为 h=g + i\omega,这里 h 是埃尔米特形式,g黎曼度量i殆复结构,而 \omega殆辛结构

复流形 M 上一个凯勒度量是切丛  TM 上一个埃尔米特度量,满足一个有多种等价刻画的条件(最几何的方式是由度量诱导的平行移动在切空间上给出复线性映射)。利用局部坐标它规定如下:如果

h = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \otimes d \bar z^j

是埃尔米特度量,则伴随的凯勒形式定义为(在差一个因子 i/2 的意义下)

\omega = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \wedge d \bar z^j

闭的:即 dω = 0。如果 M 带有这样一个度量则称之为凯勒流形。

凯勒流形上的度量局部满足

g_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2 K}{\partial z^i \partial \bar{z}^{j}}

对某个函数 K,称为凯勒势。

一个凯勒流形,伴随的凯勒形式和度量叫做凯勒-爱因斯坦Kähler-Einstein,有时也叫爱因斯坦-凯勒)的当且仅当其里奇张量与度量张量成比例,R = \lambda g,对某个常数 λ。这个名称是为了纪念爱因斯坦关于宇宙常数的考虑。更多细节见爱因斯坦流形一文。

例子[编辑]

  1. 欧几里得空间 Cn 带着标准埃尔米特度量是一个凯勒流形。
  2. 环面 Cn/Λ(Λ 为一完全)由 Cn 上继承一个平坦度量,从而是一个紧致凯勒流形。
  3. 黎曼曲面上每个黎曼度量是凯勒的,因为 ω 闭的条件在(实)2 维是平凡的。
  4. 复射影空间 CPn 有一个齐性凯勒度量,富比尼–施图迪度量。向量空间 Cn + 1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n + 1,C) 中一个子群;一个富比尼–施图迪度量在差一个位似(整体缩放)的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定;由初等线性代数,任何两个富比尼–施图迪度量在 CPn 的一个投影自同态下是等距的,故无需言明通常就说富比尼–施图迪度量。
  5. 一个凯勒流形的複流形上的诱导度量是凯勒的。特别地,任何施坦流形(嵌入 Cn)或代数簇(嵌入 CPn)是凯勒型的。这对它们的分析理论是基本的。
  6. 单位複球体 Bn 有一个凯勒度量叫做伯格曼度量,具有常全纯截面曲率。
  7. 每个K3曲面是凯勒的(得自丘成桐的一个定理)。

凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形

相关条目[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Gizem Karaali"Kahler-Ricci Flow On Kahler Manifolds"

参考文献[编辑]

  • André Weil, Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)
  • Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
  • Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.