凱萊圖

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在兩個生成元ab上的自由群的凱萊圖

數學中,凱萊圖也叫做凱萊著色圖是編碼離散群。它的定義是凱萊定理(以阿瑟·凱萊命名)所暗含的,并使用這個群的特定的通常有限的生成元集合。它是組合群論與幾何群論的中心工具。

定義[编辑]

假設G ,是S ,是生成集。凱萊圖\Gamma=\Gamma(G,S) ,是如下構造的著色的有向圖

  • G ,每個元素g ,指派一個頂點:\Gamma ,的頂點集合V(\Gamma) ,同一於G ,。
  • S ,的每個生成元s ,指派一種顏色c_s ,。
  • 對於任何g\in G, s\in S,對應於元素g ,和gs ,的頂點用顏色c_s ,的有向邊連接。因此邊集合E(\Gamma) ,由形如(g, gs) ,的有序對構成,帶著s\in S提供的顏色。

在幾何群論中,集合S ,通常被假定為有限的、“對稱的”也就是S=S^{-1} ,并且不包含這個群的單位元。在這種情況下,凱萊圖是正常的:它的邊沒有方向并且不包含環路。

例子[编辑]

  • 假設G = Z是無限循環群而集合S有標準生成元1和它的逆元(用加法符號為−1)構成,則它的凱萊圖是無窮鏈。
  • 類似的,如果G = Znn循環群S由兩個元素構成,G的標準生成元和它的逆元,則凱萊圖是環圖Cn
  • 群的直積的凱萊圖是對應的凱萊圖的笛卡爾積。因此帶有四個元素(±1, ±1)組成的生成集的阿貝爾群Z2的凱萊圖是在平面R2上無窮網格,而帶有類似的生成集的直積Zn×Zm的凱萊圖是在環面nm有限網格。
二面體群D4在兩個生成元ab上的凱萊圖。
  • 二面體群D4在兩個生成元ab上的凱萊圖列于右側。紅色箭頭表示左乘元素a。因此元素b自我逆轉的,表示左乘元素b藍色線是無方向的。因此這個圖是混合的:它有8個頂點,8個有向邊,4個邊。群D4凱萊表可以從群展示得出:
 \langle a, b | a^4 = b^2 = e, a b = b a^3 \rangle
  • 在對應於集合S = {a, b, a−1, b−1}的兩個生成元a, b上的自由群的凱萊圖列出在文章開頭,這里的e表示單位元。沿著邊向右走表示右乘a,而沿著變向上走表示乘以b。因為自由群沒有關系,它的凱萊圖中沒有。這個凱萊圖是證明巴拿赫-塔斯基悖论的關鍵因素。

特征[编辑]

G通過左乘作用在自身上(參見凱萊定理)。這個作用可以看作G作用在它的凱萊圖上。明顯的,一個元素h\in G映射一個頂點g\in V(\Gamma)到頂點hg\in V(\Gamma)。凱萊圖的邊集合被這個作用所保存:邊(g,gs)變換成邊(hg,hgs)。任何群在自身上的左乘作用是簡單傳遞的,特別是凱萊圖是頂點傳遞的。這導致了凱萊圖的下列特征:

\Gamma是群G的凱萊圖,當且僅當它通過圖自同構許可G的簡單傳遞作用(就是保存邊的集合)。

要從一個凱萊圖\Gamma=\Gamma(G,S)恢復群G和生成集S,選擇一個頂點v_1\in V(\Gamma)并標記上這個群的單位元。接著對每個\Gamma的頂點v標記上變換v_1vG的唯一元素。產生\Gamma為凱萊圖的G的生成元的集合S是毗連到選擇的頂點的頂點的標記的集合。生成集合是有限(這是凱萊圖的共同假定)當且僅當這個圖是局部有限的(就是說每個頂點毗連與有限多個邊)。

基本性質[编辑]

  • 如果生成集合的成員s是自身的逆元,即s=s^{-1},則它一般被表示為無向邊。
  • 凱萊圖\Gamma(G,S)本質上依賴於生成元的集合S的選擇方式。例如,如果生成集合Sk個元素,則凱萊圖的每個頂點都有k個進入和k個外出的有向邊。在有r個元素的對稱生成集合S的情況下,凱萊圖是r度的正則圖
  • 在凱萊圖中的(“閉合路徑”)指示在S的兩個元素之間的關系。在群的凱萊複形的更精細構造中,對應於關系的閉合路徑被用多邊形“填充”。
  • 如果f: G'\to G滿射群同態并且G'的生成集合S'的元素的像是不同的,則它引發一個圖的覆蓋
 \bar{f}: \Gamma(G',S')\to \Gamma(G,S),\quad這里的S=f(S') ,。
特別是,如果群Gk個生成元,都有不是2的階,并且這些生成元和它們的逆元構成集合S,則凱萊圖\Gamma(G,S)由對應於在相同生成集合的自由群2k度無限正則所覆蓋。
  • \Gamma(G,S)可以被構造即使集合S不生成群G。但是,它是連通的并不被認為是凱萊圖。在這種情況下,這個圖的每個連通部件表示一個S生成子群的陪集。

Schreier陪集圖[编辑]

如果轉而把頂點作為固定子群H的右陪集,就得到了一個有關的構造Schreier陪集圖,它是陪集枚舉Todd-Coxeter算法的基礎。

與群論的關系[编辑]

研究圖的鄰接矩陣特別是應用譜圖理論的定理能洞察群的結構。

參見[编辑]

注釋[编辑]

  1. ^ Babai, L. Technical Report TR-94-10. University of Chicago. 1996. [1]