凱萊定理

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群論中,凱萊定理,以阿瑟·凱萊命名,聲稱所有 G 同構於在 G 上的對稱群子群。這可以被理解為 GG 的元素上的群作用的一個例子。

集合 G置換是任何從 GG雙射函數;所有這種函數的集合形成了在函數復合下的一個群,叫做“G 上的對稱群”并寫為 Sym(G)。

凱萊定理通過把任何群(包括無限群比如 (R,+))都當作某個底層集合的置換群,把所有群都放在了同一個根基上。因此,對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史[编辑]

Burnside[1] 將其歸功於 Jordan[2],但是 Eric Nummela[3]爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的 1854 年論文[4]中證明了定理中的對應是一一對應,但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是,Nummela 提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果,因此比 Jordan 要提前了 16 年。

定理的證明[编辑]

初等群論中,知道了對于任何 G 中元素 g 必然有 g*G = G;并通過消除規則知道了 g*x = g*y 當且僅當 x = y。所以左乘 g 充當了雙射函數 fg : GG,通過定義 fg(x) = g*x。所以,fgG 的置換,并因此是 Sym(G) 的成員。

Sym(G) 的子集 K 定義為

K = {fg : gG 并且 fg(x) = g*x 對於所有 xG}

是同構於 G 的 Sym(G) 的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 T : G → Sym(G) 對於所有 G 中的 g 有著 T(g) = fg 。(對 Sym(G) 中的復合使用 "·"),T群同態因為:

(fg · fh)(x) = fg(fh(x)) = fg(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f(g*h)(x),對於所有 G 中的 x

因此:

T(g) · T(h) = fg · fh = f(g*h) = T(g*h)。

同態 T 也是單射因為: T(g) = idG (Sym(G) 的單位元) 蘊含了對于所有 G 中的 xg*x = x,選取 xG 的單位元 e 產生 g = g*e = e。可替代的,T(g) 也是單射因為: g*x=g*x' 蘊含 x=x' (通過左乘上 g 的逆元,因為 G 是群所以一定存在)。

因此 G 同構於 T 的像,它是子群 K

T 有時叫做 G 的正規表示。

另一个的證明[编辑]

另一个證明使用了群作用的語言。考慮群 G 為 G-集合,可以證明它有置換表示 \phi

首先假設 G=G/H 帶有 H=\{e\}。則根據G-軌道分類這個群作用是 g.e(也叫做軌道-穩定集定理)。

現在這個表示是忠实的,如果 \phi 是單射,就是說,如果 \phi 的核是平凡的。假設 g ∈ ker \phi ,則 g=g.e=\phi(g).e,通過置換表示和群作用的等價性。但是因為 g ∈ ker \phi, \phi(g)=e 并因此 ker \phi 是平凡的。則 im \phi < G 并因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記[编辑]

單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪,小于這個元素的階,每個元素對應於由相同長度的環構成的置換: 這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集

正規群表示的例子[编辑]

Z2 = {0,1} 帶有模 2 加法,群元素 0 對應於恒等置換 e,群元素 1 對應於置換 (12)。

Z3 = {0,1,2} 帶有模 3 加法;群元素 0 對應於恒等置換 e,群元素 1 對應於置換 (123),而群元素 2 對應於置換 (132)。比如 1 + 1 = 2 對應於 (123)(123)=(132)。

Z4 = {0,1,2,3} 帶有模 4 加法;它的元素對應於 e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群 {e, a, b, c} 的元素對應於 e, (12)(34), (13)(24) 和 (14)(23)。

S3(6階二面體群)是三個對象的所有置換的群,但也是 6 個群元素的置換群:

* e a b c d f 置換
e e a b c d f e
a a e d f b c (12)(35)(46)
b b f e d c a (13)(26)(45)
c c d f e a b (14)(25)(36)
d d c a b f e (156)(243)
f f b c a e d (165)(234)

引用[编辑]

  1. ^ Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order. 2, Cambridge. 1911 
  2. ^ Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars. 1870 
  3. ^ Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly. 1980, 87 (3): 202-203 
  4. ^ Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, Phil. Mag.. 1854, 7 (4): 40-47 

參見[编辑]