凱萊定理

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群論中,凱萊定理,以阿瑟·凱萊命名,聲稱所有G 同構於在G上的對稱群子群。這可以被理解為GG的元素上的群作用的一個例子。

集合G置換是任何從GG雙射函數;所有這種函數的集合形成了在函數復合下的一個群,叫做“G上的對稱群”并寫為Sym(G)。

凱萊定理通過把任何群(包括無限群比如 (R,+))都當作某個底層集合的置換群,把所有群都放在了同一個根基上。因此,對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史[编辑]

Burnside[1] 將其歸功於Jordan[2],但是 Eric Nummela[3]爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文[4]中證明了定理中的對應是一一對應,但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是,Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果,因此比Jordan要提前了16年。

定理的證明[编辑]

初等群論中,知道了對于任何G中元素g必然有g*G = G;并通過消除規則知道了g*x = g*y當且僅當x = y。所以左乘g充當了雙射函數fg : GG,通過定義fgx) = g*x。所以,fgG的置換,并因此是Sym(G)的成員。

Sym(G)的子集K定義為

K = {fg : gG并且fgx) = g*x對於所有xG}

是同構於G的Sym(G)的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數T : G → Sym(G)對於所有G中的g有著Tg) = fg。(對Sym(G)中的復合使用"·"),T群同態因為:

fg · fhx) = fgfh(x)) = fgh*x) = g*(h*x) =(g*h)*x = fg*hx),對於所有G中的x,因此:
Tg)· Th) = fg · fh = fg*h = Tg*h)。同態T也是單射因為:Tg) = idG(Sym(G)的單位元)蘊含了對于所有G中的xg*x = x,選取xG的單位元e產生g = g*e = e。可替代的,Tg)也是單射因為:g*x=g*x' 蘊含x=x' (通過左乘上g的逆元,因為G是群所以一定存在)。

因此G同構於T的像,它是子群K

T有時叫做G的正規表示。

另一个的證明[编辑]

另一个證明使用了群作用的語言。考慮群G為G-集合,可以證明它有置換表示\phi

首先假設G=G/H帶有H=\{e\}。則根據G-軌道分類這個群作用是g.e(也叫做軌道-穩定集定理)。

現在這個表示是忠实的,如果\phi是單射,就是說,如果\phi的核是平凡的。假設g ∈ ker \phi,則g=g.e=\phi (g).e,通過置換表示和群作用的等價性。但是因為g ∈ ker \phi, \phi (g)=e并因此ker \phi是平凡的。則im \phi < G并因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記[编辑]

單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪,小于這個元素的階,每個元素對應於由相同長度的環構成的置換:這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集

正規群表示的例子[编辑]

Z2 = {0,1}帶有模2加法,群元素0對應於恒等置換e,群元素1對應於置換(12)。

Z3 = {0,1,2}帶有模3加法;群元素0對應於恒等置換e,群元素1對應於置換(123),而群元素2對應於置換(132)。比如1 + 1 = 2對應於(123,123)=(132)。

Z4 = {0,1,2,3}帶有模4加法;它的元素對應於e,(1234),(13,24),(1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e,(12,34),(13,24)和(14,23)。

S36階二面體群)是三個對象的所有置換的群,但也是6個群元素的置換群:

* e a b c d f 置換
e e a b c d f e
a a e d f b c (12,35,46)
b b f e d c a (13,26,45)
c c d f e a b (14,25,36)
d d c a b f e (156,243)
f f b c a e d (165,234)

引用[编辑]

  1. ^ Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order. 2, Cambridge. 1911 
  2. ^ Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars. 1870 
  3. ^ Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly. 1980, 87 (3): 202-203 
  4. ^ Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, Phil. Mag.. 1854, 7 (4): 40-47 

參見[编辑]