凱萊定理

在群論中，凱萊定理，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群 G 同構於在 G 上的對稱群的子群。這可以被理解為 G 在 G 的元素上的群作用的一個例子。

集合 G 的置換是任何從 G 到 G 的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數復合下的一個群，叫做“G 上的對稱群”并寫為 Sym(G)。

凱萊定理通過把任何群(包括無限群比如 (R,+))都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史

Burnside 將其歸功於 Jordan，但是 Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的 1854 年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela 提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比 Jordan 要提前了 16 年。

定理的證明

從初等群論中，知道了對于任何 G 中元素 g 必然有 g*G = G；并通過消除規則知道了 g*x = g*y 當且僅當 x = y。所以左乘 g 充當了雙射函數 f_g : G → G，通過定義 f_g(x) = g*x。所以，f_g 是 G 的置換，并因此是 Sym(G) 的成員。

Sym(G) 的子集 K 定義為

K = {f_g : g ∈ G 并且 f_g(x) = g*x 對於所有 x ∈ G}

是同構於 G 的 Sym(G) 的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 T : G → Sym(G) 對於所有 G 中的 g 有著 T(g) = f_g 。(對 Sym(G) 中的復合使用 "·")，T 是群同態因為:

(f_g · f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_(g*h)(x)，對於所有 G 中的 x，

因此:

T(g) · T(h) = f_g · f_h = f_(g*h) = T(g*h)。

同態 T 也是單射因為: T(g) = id_G (Sym(G) 的單位元) 蘊含了對于所有 G 中的 x 有 g*x = x，選取 x 為 G 的單位元 e 產生 g = g*e = e。可替代的，T(g) 也是單射因為: g*x=g*x' 蘊含 x=x' (通過左乘上 g 的逆元，因為 G 是群所以一定存在)。

因此 G 同構於 T 的像，它是子群 K。

T 有時叫做 G 的正規表示。

另一个的證明

另一个證明使用了群作用的語言。考慮群 $G$ 為 G-集合，可以證明它有置換表示 $\phi$。

首先假設 $G=G/H$ 帶有 $H=\{e\}$。則根據G-軌道分類這個群作用是 $g.e$(也叫做軌道-穩定集定理)。

現在這個表示是忠实的，如果 $\phi$ 是單射，就是說，如果 $\phi$ 的核是平凡的。假設 $g$ ∈ ker $\phi$ ，則 $g=g.e=\phi(g).e$，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為 $g$ ∈ ker $\phi$, $\phi(g)=e$ 并因此 ker $\phi$ 是平凡的。則 im $\phi < G$ 并因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記

單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小于這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換: 這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。

正規群表示的例子

Z₂ = {0,1} 帶有模 2 加法，群元素 0 對應於恒等置換 e，群元素 1 對應於置換 (12)。

Z₃ = {0,1,2} 帶有模 3 加法；群元素 0 對應於恒等置換 e，群元素 1 對應於置換 (123)，而群元素 2 對應於置換 (132)。比如 1 + 1 = 2 對應於 (123)(123)=(132)。

Z₄ = {0,1,2,3} 帶有模 4 加法；它的元素對應於 e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群 {e, a, b, c} 的元素對應於 e, (12)(34), (13)(24) 和 (14)(23)。

S₃(6階二面體群)是三個對象的所有置換的群，但也是 6 個群元素的置換群:

*	e	a	b	c	d	f	置換
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

參見

• 米田引理