凱萊-哈密頓定理

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線性代數中,凱萊-哈密頓定理(以數學家阿瑟·凱萊威廉·卢云·哈密顿命名)表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說:設 A 為給定的 n \times n 矩陣,並設 I_nn \times n 單位矩陣,則 A特徵多項式定義為:

p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,

其中 det 表行列式函數。凱萊-哈密頓定理斷言:

p(A)=0.\,

凱萊-哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除,這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子[编辑]

舉例明之,考慮下述方陣:

A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.

其特徵多項式為

p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.

此時可以直接驗證凱萊-哈密頓定理:

A^2-5A-2I_2=0

此式可以簡化高次冪的運算,關鍵在於下述關係:

A^2-5A-2I_2=0
A^2=5A+2I_2.

例如,為了計算 A^4,可以反覆利用上述關係式:

A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2
A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A
A^4=145A+54I_2.

此外,凱萊-哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

:一般而言,若 n \times n 矩陣 A 可逆(即:\det A \neq 0),則 A^{-1} 可以寫成 A 的冪次和:特徵多項式有如下形式

p(\lambda)=\lambda^n-{\rm tr} (A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A),

將方程式 p(A)=0 同乘以 A^{-1},便得到

 A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}-{\rm tr} (A)A^{n-2}+\cdots).

定理證明[编辑]

以下考慮佈於 k = \mathbb{R}, \mathbb{C} 上的矩陣。

凱萊-哈密頓定理可以視為線性代數克萊姆法則的推論。克萊姆法則斷言:若 Sn \times n 矩陣,而 \mathrm{cof}(S) 表其餘因子矩陣,則

S \cdot \mathrm{cof}(S)^t = \det (S) I_n

S := t I_n - A,便得到 (t I_n - A) \mathrm{cof}(t I_n - A)^t = p_A(t) I_n。此式對所有 t 皆成立,由於實數複數域有無窮多元素,上式等式在多項式環 k[t] 內成立。

M := k^n,矩陣 A 賦予 M 一個 k[t]-結構:f(t) \cdot m = f(A)m。考慮 k[t]-模 M[t] := M \otimes_k k[t],我們有 k[t]-模之間的「求值態射」:

e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m

固定 m \in M,對 M[t] 中的等式

(tI_n-A) \cdot \mathrm{cof}(tI_n-A)^t \,m = p_A(t) m

右側取 e_A 後得到 p_A(A)m,左側取 e_A 後得到 (A-A) \cdot (\cdots) = 0。明所欲證。

一个简单的证明: 令:

B=\mbox{adj}(tI_n-A).\,

由:

S \cdot \mathrm{adj}(S) = \det (S) I_n

得:

(t I_n - A) \cdot B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n.

将上式左边按t进行多项式展开得:

\begin{align}
 p(t) I_n &= (t I_n - A) \cdot B \\
 &=(t I_n - A) \cdot\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i  \\
 &=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\
 &=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1}  B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i A\cdot B_i  \\
 &=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1}  t^i(B_{i - 1} - A\cdot  B_i) - A \cdot B_0.
\end{align}

将上式右边展开得:

p(t)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n

因两多项式,他们的对应项系数相等得:

B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - A\cdot B_i = c_i I_n\quad \mbox{for }0 < i < n, \qquad -A B_0 = c_0 I_n. \,

在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:

 0=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n= p(A).

得证

抽象化與推廣[编辑]

前述證明用到係數在 k[t] 的矩陣的克萊姆法則,事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此,凱萊-哈密頓定理可以推廣到一個交換環 R 上的任何有限生成自由模 M(向量空間是特例)。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結[编辑]