凱萊－哈密頓定理

在線性代數中，凱萊-哈密頓定理（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設 $A$ 為給定的 $n \times n$ 矩陣，並設 $I_n$ 為 $n \times n$ 單位矩陣，則 $A$ 的特徵多項式定義為：

$p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,$

其中 det 表行列式函數。凱萊-哈密頓定理斷言：

$p(A)=0.\,$

凱萊-哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子

舉例明之，考慮下述方陣：

$A = \begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.$

其特徵多項式為

$p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\ -3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.$

此時可以直接驗證凱萊-哈密頓定理：

$A^2-5A-2I_2=0$

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

$A^2-5A-2I_2=0$

$A^2=5A+2I_2.$

例如，為了計算 $A^4$，可以反覆利用上述關係式：

$A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2$

$A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A$

$A^4=145A+54I_2.$

此外，凱萊-哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若 $n \times n$ 矩陣 $A$ 可逆（即：$\det A \neq 0$），則 $A^{-1}$ 可以寫成 $A$ 的冪次和：特徵多項式有如下形式

$p(\lambda)=\lambda^n-{\rm tr} (A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A),$

將方程式 $p(A)=0$ 同乘以 $A^{-1}$，便得到

$A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}-{\rm tr} (A)A^{n-2}+\cdots).$

定理證明

以下考慮佈於域 $k = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 上的矩陣。

凱萊-哈密頓定理可以視為線性代數中克萊姆法則的推論。克萊姆法則斷言：若 $S$ 是 $n \times n$ 矩陣，而 $\mathrm{cof}(S)$ 表其餘因子矩陣，則

$S \cdot \mathrm{cof}(S)^t = \det (S) I_n$

取 $S := t I_n - A$，便得到 $(t I_n - A) \mathrm{cof}(t I_n - A)^t = p_A(t) I_n$。此式對所有 $t$ 皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環 $k[t]$ 內成立。

設 $M := k^n$，矩陣 $A$ 賦予 $M$ 一個 $k[t]$-模結構：$f(t) \cdot m = f(A)m$。考慮 $k[t]$-模 $M[t] := M \otimes_k k[t]$，我們有 $k[t]$-模之間的「求值態射」：

$e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m$

固定 $m \in M$，對 $M[t]$ 中的等式

$(tI_n-A) \cdot \mathrm{cof}(tI_n-A)^t \,m = p_A(t) m$

右側取 $e_A$ 後得到 $p_A(A)m$，左側取 $e_A$ 後得到 $(A-A) \cdot (\cdots) = 0$。明所欲證。

一个简单的证明： 令：

$B=\mbox{adj}(tI_n-A).\,$

由:

$S \cdot \mathrm{adj}(S) = \det (S) I_n$

得：

$(t I_n - A) \cdot B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n.$

将上式左边按t进行多项式展开得：

$\begin{align} p(t) I_n &= (t I_n - A) \cdot B \\ &=(t I_n - A) \cdot\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i \\ &=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\ &=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i A\cdot B_i \\ &=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^i(B_{i - 1} - A\cdot B_i) - A \cdot B_0. \end{align}$

将上式右边展开得：

$p(t)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n$

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

$B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - A\cdot B_i = c_i I_n\quad \mbox{for }0 < i < n, \qquad -A B_0 = c_0 I_n. \,$

在等式两边t的i次项系数分别乘以Aⁱ, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

$0=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n= p(A).$

得证

抽象化與推廣

前述證明用到係數在 $k[t]$ 的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊-哈密頓定理可以推廣到一個交換環 $R$ 上的任何有限生成自由模 $M$（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結

• PlanetMath 上的證明