击中时

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布朗运动过程的三个路径,接触到上限则结束

击中时也称为命中时首中时,是数学随机过程研究里出现的一个概念,表示一个随机过程首次接触到状态空间的某个子集的时间。在特定的例子中,也会被称为离时脱离时间)或回时首次回归时间)。

定义[编辑]

T是一个有序的指标集,比如说是自然数的集合\mathbb{N}、非负实数\mathbb{R}^+ = [0,+\infty)或者是这两者的子集。T中的一个元素t \in T可以被认为是一种记录时间的方式(离散或连续型)。给定一个概率空间(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P}),一个可测状态空间S,设X : \, \, \Omega \times T \rightarrow S = \left( X_t \right)_{t\in T}为一个随机过程,并设AS中的一个可测子集。那么,随机过程\left( X_t \right)_{t\in T}首次接触子集A的击中时定义为以下的随机变量[1]:155

\tau_{A}  \Omega \longrightarrow \overline{T}
\tau_{A} (\omega) := \, \, \inf \{ t \in T \, | \, X_{t} (\omega) \in A \}.

同样,可以定义\left( X_t \right)_{t\in T}首次离开子集A的离时:

\epsilon_{A} (\omega) := \, \, \inf \{ t \in T \, | \, X_{t} (\omega) \notin A \} =  \, \inf \{ t \in T \, | \,  X_{t} (\omega) \in A^c \} =  \tau_{A^c}.

可以看出离时实际上也是击中时的一种,表示首次接触到要研究的子集的补集的时间。很多时候,离时也会记为 \tau_{A} ,和击中时一样。

另外一种击中时是 \left( X_t \right)_{t\in T}后首次回到出发点\{X_{0} (\omega)\}的击中时,称为回时或首次回归时间:

\tau_0 (\omega) := \, \, \inf \{ t \in T \, | \, X_{t} (\omega) = X_{0} (\omega) \}.

例子[编辑]

  • \left( W_t \right)_{t\in \mathbb{R}^+ }\mathbb{R} 上标准的布朗运动过程,则对于任意(实数的)波莱尔可测子集A,都可以定义首次接触A的击中时 \tau_{A}^W ,并且可以证明这样定义的击中时 \tau_{A}^W 都是停时。
  • 如果定义标准布朗运动\left( W_t \right)_{t\in \mathbb{R}^+ }首次离开区间A_r = (-r, r)的离时为 \epsilon_{r}^W = \tau_{A_r^c}^W ,那么这个离时也是停时,它的数学期望是: \mathbb{E}(\epsilon_{r}^W) = r^2 方差 \operatorname{Var}(\epsilon_{r}^W) = \frac23 r^4.

首发定理[编辑]

对于给定的概率空间,随机过程首次进入状态空间中的一个可测子集F的击中时也称为F的首发时间(début)。首发定理说明,如果随机过程是循序可测的,那么可测子集的首发时间一定是停时。循序可测过程包括所有的左连续适应过程和右连续适应过程。首发定理的证明用到了解析集的性质。首发定理需要概率空间是完全概率空间

首发定理的逆定理指出,所有定义在某个实数时间轴的滤波上的停时,都能表示为某个状态空间子集的击中时。特别地,存在一个适应的不增随机过程,其路径几乎总是左极限右连续,并且取值为0或1,使得子集\{0\}的击中时就是对应的停时。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ (英文)Rick Durrett. Probability: theory and examples,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390.