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函数图形

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函數 f(x)=x^2 的圖形。

在数学中,函数 f图形(或图像)指的是所有有序对x, f(x))组成的集合[1]。具体而言,如果x实数,则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2),则图形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))组成的集合,呈现为曲面(参见三维计算机图形)。

实函数的图形拥有其唯一的图像。而对于一般的函数,其图形形式无法应用,图形的正式定义取决于数学表述的需要,例如泛函分析中的閉圖像定理

函数图形的概念由二元关系图形推广而来。需要注意的是,尽管一个函数与其图像通常是一一对应的,但二者并不可混淆。两个函数可能拥有相同的图像,却有不同的上域(陪域)。例如,对于下文提到的三次多项式,当其上域为实数时函数即为满射,而若其上域为复数则不然。

通过垂线测试可以判断一条曲线是否为一个函数,而通过水平線測試可以判断函数是否为单射且是否存在反函数。如果反函数存在,则其图像可以通过将原函数图像以直线y=x为轴进行对称得到。

样例[编辑]

单变量函数[编辑]

一次函数[编辑]

三個線性函數的圖形都是直線。紅色與藍色直線的斜率相同。 紅色與綠色直線的 y-截距相同。

形如

f(x)=kx+b \!\

的图像为:

\left\{ (x,kx+b)|x \in \mathbb{R} \right\}

平面直角坐标系中,该图像为一条直线。这是因为,该函数的导数为常数k

非線性函數[编辑]

函数 f(x)=x^3-9x 的图像。

对于二次或更高次的多項式函数,或者其他的非線性函數,其图像则会呈现为一条曲线。这是因为其導函數不是常數函數。

例如,三次函数

f(x)={{x^3}-9x} \!\

的图像为

\left\{ (x, x^3 -9x) | x \in \mathbb{R} \right\}

如果將这个图像绘制在平面直角坐标系中,则会得到一条三次曲线(见右图)。

双变量函数[编辑]

函数 \begin{smallmatrix} f(x, y) = \sin(x^2)\times \cos(y^2) \end{smallmatrix}
的图像。

三角学中的函数

f(x,y)=\sin x^2 \cos y^2

的图像为

\left\{ (x,y,\sin x^2 \cos y^2)|x,y \in \mathbb{R} \right\}

如果这个图像绘制在了三维坐标系中,则会得到一个曲面(见图)。

函数图像绘制工具[编辑]

硬件[编辑]

软件[编辑]

参考文献[编辑]

相关条目[编辑]