函数空间

在数学中，函数空间从集合 X 到集合 Y 的给定种类的函数的集合。它叫做空间是因为在很多应用中，它是拓扑空间或向量空间或这二者。

例子

函数空间出现在数学的各个领域中:

• 在集合论中，集合 X 的幂集同一于从 X 到 {0,1} 的所有函数的集合；指示为 2^X。更一般的说，函数 X → Y 的集合指示为 Y^X。

• 在线性代数中，从在同一个域上的向量空间 V 到另一个向量空间 W 的所有线性变换的集合自身是个向量空间。

• 在泛函分析中，对于包括如上向量空间上的拓扑的连续线性变换也是同样的，很多主要例子是承载拓扑的函数空间；最周知的例子包括希尔伯特空间和巴拿赫空间。

• 在泛函分析，从自然数到某个集合 X 的所有函数集合叫做序列空间。它由 X 的元素的所有可能序列的集合构成。

• 在拓扑学中，可以尝试在从拓扑空间 X 到另一个拓扑空间 Y 的连续函数的空间上放置一个拓扑，带有依赖于这些空间的本性的效用。常用的例子是紧-开拓扑。还有就是在集合论函数(就是说不必需是连续函数) Y^X 的空间上的乘积拓扑。在本语境中，这个拓扑也叫做逐点收敛拓扑。

• 在代数拓扑学中，同伦理论本质上研究函数空间的离散不变式。

• 在随机过程理论中，基本技术问题是如何在“过程路径”(时间的函数)的函数空间上构造概率测度。

• 在范畴论中，函数空间叫做指数对象。它以一种方式出现为表示规范双函子；但是作为类型 [X, -] 的(单一)函子，它出现为对在对象上的类型 (-×X) 的函子的伴随函子。

• 在lambda 演算和函数式编程中，函数空间类型被用来表达高阶函数的想法。

• 在域理论中，基本想法是通过建立良好行为的笛卡儿闭范畴，从可建模 lambda 演算的偏序中找到构造。