分划

将全体有理数集合分拆为两个非空集合 $A$ 和 $A'$ ，若 $A$ 和 $A'$ 满足条件：

则称这样的分拆为有理数的一个分划，记为 $A|A'$ 。其中集合 $A$ 称为分划的下组，集合 $A'$ 称为分划的上组。

分类 [编辑]

根据分划中 $A$ 和 $A'$ 是否有最大数、最小数，可以将分划分为三种类型：

可以证明，“ $A$ 中有最大数， $A'$ 中有最小数」的情况并不存在。

第3种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种"空隙"（ $A$ 和 $A'$ 之间的界数），这个"空隙"所对应的数既不属于 $A$ ，也不属于 $A'$ ，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的分划定义了一个无理数。

将所有小于或等于0的有理数划分为集合 $A$ ，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合 $A'$ ，则 $A|A'$ 是一个分划，并属于上述分类中的第1种情形。
将所有小于0的有理数划分为集合 $A$ ，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合 $A'$ ，则 $A|A'$ 是一个分划，并属于上述分类中的第2种情形。
将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足 $\forall a \in \mathbb{Q}, a>0, a^{2} \leq 3$ 的数）划分到集合 $A$ ，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合 $A'$ ，则 $A|A'$ 是一个分划，并属于上述分类中的第3种情形，此时分划 $A|A'$ 定义了无理数 $\sqrt[]{3}$ 。