分子运动论

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统计力学

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分子运动论（又稱氣體動力論）是物理学中的重要理论，揭示了微觀下物质结构和运动的一般规律。

主要内容

• 物质都是由大量分子组成的
• 分子永不停息的作无规则运动
• 分子之间存在着互相作用的分子力（引力和斥力）

发展过程

• 人类早在公元前5世纪就开始思考物质的结构问题。古希腊时期著名的朴素唯物主义哲学家德谟克利特就提出，物质是由不可分的原子构成的。这种思想在数个世纪都深刻的影响着人们的世界观。

• 17世纪科學革命以来，自然科学得到了突飞猛进的进步，特别是热力学的突破性发展，使人们重新思考物质的结构问题。伽桑迪、罗伯特·胡克、伯努利等科学家的研究表明，物质的液体、固体、气体三种状态的转变是因为分子之间作用的结果，特别是气体的压力源于气体分子与器壁碰撞，从而导出了玻意耳-马略特定律。

• 1744年罗蒙诺索夫第一次明确提出热现象是分子无规则运动的表现，并把機械能守恆定律应用到了分子运动的热现象中。

• 19世纪中叶建立的能量守恒定律为分子运动论提供了坚实的理论依据。经克劳修斯、麦克斯韦和波茲曼等科学家的不懈努力，气体的实验定律，分子速度的分布规律，分子运动规律的定量方程被一一得出。至此分子运动论在经典物理学的范畴内已基本功德圆满。

意义

分子运动论使人类正确认识到了物质的结构组成和运动的一般规律，成功解释了诸如布朗运动等现象，并成为物理学中其他理论，甚至很多其他学科的理论基础。

推導

在氣體動力論中，壓力是以氣體對某個平面撞擊所造成的力解釋，假設一個邊長為 $l$ 的正立方體，一顆質量為 $m$ 的分子以速率 $v$ 在完全彈性碰撞的情況下，沿 X 軸撞擊其中一面的動量變化為：

$\Delta P = mv_x - (- mv_x) = 2mv_x$

此分子每隔 $\frac{2l}{v_x}$ 便撞擊該面一次，因此該面所受到的力量為：

$F_x = \frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\frac{2l}{v_x}} = \frac{mv_x^2}{l}$

在一共有 n 個相同分子的狀況下，該面所受到的總力為：

$F_x = \frac{mv_{x1}^2+mv_{x2}^2+mv_{x3}^2+\cdots+mv_{xn}^2}{l} = \frac{m( \sum_{k=1}^n v_{xk}^2)}{l}$

定義：

$\bar{v_x^2} \equiv \frac{\sum v_{xn}^2}{n}$，$F_x = \frac{mn\bar{v_x^2}}{l}$

用相同的方式也可以得到：

$F_y = \frac{mn\bar{v_y^2}}{l}$，$F_z = \frac{mn\bar{v_z^2}}{l}$

$\bar{v^2} = \bar{v_x^2} + \bar{v_y^2} + \bar{v_z^2}$

因為大量氣體的運動可以視為無規則的運動，且向每一方向的速率皆相等，所以：

$\bar{v_x^2} = \bar{v_y^2} = \bar{v_z^2}$，$\bar{v^2} = 3\bar{v_x^2}$

其中一個面所受到的壓力為：

$P = \frac{F}{A} = \frac{mn\frac{\bar{v^2}}{3}}{l^3} = \frac{mn\bar{v^2}}{3l^3} = \frac{mn\bar{v^2}}{3V}$

$PV = \frac{nm\bar{v^2}}{3} = \frac{2n\cdot\frac{m\bar{v^2}}{2}}{3} = \frac{2n\bar{E}}{3}$

其中 $\bar{v_x^2}$ 為均方根，因此也可表示為：

$PV = \frac{nmv_{rms}^2}{3}$

熱能與動能

根據理想氣體方程式（$PV = Nk_BT$，$k_B$為波茲曼常數，$T$為絕對溫度）：

$PV = Nk_BT = \frac{nmv_{rms}^2}{3} \Rightarrow T = \frac{mv_{rms}^2}{3k_B}$

而系統的總能量$k$可表示為：

$K = N\cdot\frac{1}{2}mv_{rms}^2 = \frac{3}{2}Nk_BT$

$\frac{2}{3}k = Nk_BT$

$PV = Nk_BT = \frac{2}{3}K$

均方根速度

$v_{\rm rms}^2 = \frac{3RT}{\text{molar mass}}$

其中 $v$ 為公尺/秒 (m/s)，R是理想氣體常數，molar mass 為莫耳質量（公斤/莫耳 (kg/mol)）。其中最有可能出現的速度為均方根速度的81.6%，而平均速度為均方根速度的92.1%。（麦克斯韦-玻尔兹曼分布）

相关名词

• 固体
• 液体
• 气体
• 比热
• 功
• 内能
• 扩散
• 热量