分布滯後

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分布滯後英语distributed lag,又稱落差分配)的模型在統計學計量經濟學裡是一種時間序列模型,模型的迴歸式依據當期與前期解釋變數英语explanatory variable的值預估因變數英语dependent variable的值。[1][2]

分布滯後模型源自於下列形式的假設結構

y_t = a + w_0x_t + w_1x_{t-1} + w_2x_{t-2} + ... + \text{error term}

y_t = a + w_0x_t + w_1x_{t-1} + w_2x_{t-2} + ... + w_nx_{t-n} + \text{error term},

其中 yt 是因變數 y 在第 t 期的值,a 是需估計的截距項,而 wi 稱為落差權重(亦需估計),置於前 i 期解釋變數 x 的前面。第一條方程式假設因變數的值會受到過去無數期自變數英语independent variable的值所影響,因此有無數個落差權重(lag weights),故稱為無窮落差分配模型(infinite distributed lag model)。相對的,第二條方程式的落差權重個數有限,假設一定期數前的自變數就不會影響因變數的值;基於這種假設的模型就稱為有限落差分配模型(finite distributed lag model)。

無窮落差分配模型需要估計無數個落差項的權重;顯然只有假設各落差權重之間的關係存在某種結構,才能以有限的假設參數表達無數個落差權重。有限落差分配模型的參數可以直接使用一般最小平方法ordinary least squares)估計(假設有足夠的資料);然而估計結果可能會因為各期自變數間的多重共線性而失真,或許還是一樣需要假設各落差權重之間的關係存在某種結構。

落差分配模型的右手側很容易擴充為一個以上的解釋變數。

非結構化估計[编辑]

一般最小平方法英语Ordinary least squares是估計落差分配之參數最簡單的方法,假設最多回顧 P 期落差項,假設誤差項為獨立同分配英语Independent and identically distributed random variables,且各期落差項的係數之間沒有結構關係。然而各期落差項間經常出現多重共線性,導致估計出來的係數失真。

結構化估計[编辑]

落差項的係數之間有結構關係的落差分配模型分為兩類:無窮跟有限。無窮落差分配自變數的值會永無止境地影響未來所有的因變數,換句話說,因變數的值會受到之前所有自變數的值無遠弗屆的影響;但時間(落差)超過一定長度後影響逐漸趨近於零。有限時間落差分配自變數的值只會影響未來幾期的因變數

有限落差分配[编辑]

最重要的有限落差分配模型是 Almon英语Shirley Montag Almon落差模型[3]。這個模型由資料本身決定落差結構的型態,但研究人員必須指定最長的時間(落差);長度不正確會扭曲落差結構的型態與自變數的累積效應。Almon 假設第 k+1 個落差權重與下列式子當中 n+1 個線性的可估計參數(n<k) aj 有關

 w_i = \sum_{j=0}^{n} a_j i^j

其中  i=0, \dots , k.

無窮落差分配[编辑]

最常見的無窮落差模型結構為幾何落差(geometric lag,也稱為 Koyck lag。這種落差結構之自變數的權重(影響程度)隨著時間(落差)長度增加呈指數下降;雖然這種落差結構的型態固定,但下降率與整體影響程度都由資料本身決定。其迴歸式非常直覺:以前期的因變數與當期的自變數作為解釋變數(迴歸式的右手側)

 y_t= a + \lambda y_{t-1} + bx_t + \text{error term}.

如果模型設定正確,係數 \lambda 的值會介於 0 與 1 之間或等於 0。此模型自變數的短期(當期)影響為 b,長期(累積)影響可以寫成 b+ \lambda b + \lambda^2 b + ... =  b/(1-\lambda).

為了能夠由資料本身決定落差結構的型態,因而提出其它無窮落差分配模型。Polynomial inverse lag[4][5] 假設落差權重與下列式子當中線性的可估計參數 aj 有關

w_i = \sum_{j=2}^{n}\frac{a_j}{(i+1)^j},

其中 i=0, \dots , \infty .

Geometric combination lag[6]假設落差項的權重與下列式子當中線性的可估計參數 aj 有關

 w_i = \sum_{j=2}^{n} a_j(1/j)^i,

其中 i=0, \dots , \infty

 w_i = \sum_{j=1}^{n} a_j [j/(n+1)]^i,

其中 i=0, \dots , \infty .

其它無窮落差分配結構還有 gamma lag[7]rational lag[8]

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Jeff B. Cromwell, et al., 1994. Multivariate Tests For Time Series Models. SAGE Publications, Inc. ISBN 0-8039-5440-9
  2. ^ Judge, George, et al., 1980. The Theory and Practice of Econometrics. Wiley Publ.
  3. ^ Almon, Shirley, "The distributed lag between capital appropriations and net expenditures," Econometrica 33, 1965, 178-196.
  4. ^ Mitchell, Douglas W., and Speaker, Paul J., "A simple, flexible distributed lag technique: the polynomial inverse lag," Journal of Econometrics 31, 1986, 329-340.
  5. ^ Gelles, Gregory M., and Mitchell, Douglas W., "An approximation theorem for the polynomial inverse lag," Economics Letters 30, 1989, 129-132.
  6. ^ Speaker, Paul J., Mitchell, Douglas W., and Gelles, Gregory M., "Geometric combination lags as flexible infinite distributed lag estimators," Journal of Economic Dynamics and Control 13, 1989, 171-185.
  7. ^ Schmidt, Peter, "A modification of the Almon distributed lag," Journal of the American Statistical Association 69, 1974, 679-681.
  8. ^ Jorgenson, Dale W., "Rational distributed lag functions," Econometrica 34, 1966, 135-149.