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分布 (数学分析)

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数学分析中的分布广义函数的一种,由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入。分布推广了普通意义上的函数概念。对于普通意义上不可导甚至不连续的函数,可以具备分布意义上的导数。事实上,任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中,常常使用分布来表示方程的广义解函数,因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用,因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程,例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。

广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末,施瓦茨等人开始建立分布理论,首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。

基本理念[编辑]

很多时候,函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射,是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论,特别是不确定性原理的发现,使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法,而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息,是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念,通过观察某个函数f与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说,我们观察f和一群“测量函数”\varphi之乘积的积分\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x。之所以使用积分作为“观察”的方式,一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间,(局部)可积分的函数比(局部)可导的函数要“多得多”;另一方面,则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候,我们往往不要求(也无法做到)知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值,而只能通过多次测量,知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度,这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。

分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”,称为分布,并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说,分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求:

  • 连续的函数属于分布;
  • 可微、可积的函数对应的分布应该也能进行微分/求原函数操作,而且结果应该也是分布,并且应该对应于原函数的微分/原函数;
  • 基本的微积分法则适用于分布;
  • 存在适当的收敛定理,可以对分布进行极限操作。

对每一个实数值的“测试函数”\varphi,将它映射到积分\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x,就定义了一个线性泛函。这个线性泛函称为f对应的分布。积分\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x的存在性取决于函数f\varphi的乘积,所以对\varphi要求越高,就能对越多的f定义对应的分布。分布理论中选取的“测试函数”的集合是支撑的函数空间D(R),也就是满足以下两个条件的R射到R函数的集合:

  1. 拥有任意阶的导函数,并且导函数连续,
  2. 除了在某一个紧致集合(一般可以简化为一个有限区间)以外,函数的取值都是0.

一般来说,一个分布就定义为 D(R) 射到R的连续线性泛函。一个分布T(作用在“测试函数”\varphi上)的值一般使用类似内积的符号记为\langle T , \varphi \rangle。当“测试函数”空间选为D(R)的时候,只要 f局部可积,就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为T_f,以和f 区分,而它的值就是:

\langle  T_f  , \varphi \rangle = \int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x

对于概率分布函数\mathbb{P},也可以将它定义为分布T_{ \mathbb{P} }。对给定的一个测试函数 \varphi ,可以定义分布T_{ \mathbb{P} }作用在 \varphi 上的值是: \langle T_{ \mathbb{P} } , \varphi \rangle = \int \varphi(x) \mathbb{P}(\mathrm{d}x). 这样定义下的T_{ \mathbb{P} }是线性的泛函,所以满足分布的定义。

除了对普通的函数可以定义分布,对一些普通意义上无法定义的“函数”也能定义出相应的分布。例如0点上的狄拉克δ函数就能用分布方式定义为:

\delta_0 (\varphi) =  \varphi(0).

也就是说它对每一个函数的“效果”是取其0点上的值。

严格定义[编辑]

接下来,我们定义Rn中开集U上的实值分布。在细微的调整之后,我们可以定义相应的复值分布,也可以将 Rn 替换为任何(仿紧光滑流形

首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) (即所谓的“测试函数”),定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

检验函数空间[编辑]

函数\varphi: UR具有紧支撑集,当且仅当存在U的紧子集K,使得对任意 U\K 中的元素x,都有\varphi(x)=0

定义D(U)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数(也就是所谓的冲击函数)的集合,则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列极限而定义。具体如下:

一列函数\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}收敛到某个\varphi_{\infty}\in D(\mathbf{U}),当且仅当其满足以下两条性质:
  1. 存在紧集 \mathbf{K} \subset \mathbf{U}包含所有 \varphi_k 的支撑集:
    \bigcup_k \operatorname{supp}(\varphi_k)\subset \mathbf{K} \subset \mathbf{U}.
  2. 对任意多重指标\alpha, 偏微分序列 \left( \partial^{\alpha}\varphi_k \right)_{k\in\mathbb{N}}一致收敛\partial^{\alpha}\varphi_{\infty}.

在如此定义下的拓扑中,D(U)是一个完备局部凸的拓扑向量空间,且满足海涅-博雷尔定理,但不是可度量的空间(不同胚于任何的度量空间)。而D(U)上的泛函u连续,当且仅当对任意收敛到零的\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}},都有\lim_{k\to\infty}u(\varphi_k )=0.

分布[编辑]

U上的分布定义为D(U)上的连续线性泛函。也就是说,如果一个实线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}(或复线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C})满足连续性,即对D(U)中任意的收敛函数列\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}},都有

\lim_{n\to\infty}S(\varphi_n)= S\left(\lim_{n\to\infty}\varphi_n\right)

那么就称此泛函为U上的一个分布。

另一个更具可操作性的定义是,如果D(U)上的一个实线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}(或复线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C})满足以下的条件:

对任意的紧子集K\in \mathbf{U},都存在C_{K} >0p_{K} \in \mathbb{N},使得对任意支撑集在\operatorname{supp}(\varphi)\subset K的检验函数 \varphi,都有
 \langle S , \varphi\rangle \leqslant C_K \max_{|\alpha |\leqslant p_K} \sup_{x\in K} \vert \partial^{\alpha}\varphi (x)\vert .

就称之为U上的一个分布。如果存在的正整数p 使得对任意的K\in \mathbf{U},都有p_{K} \leqslant p,那么最小的这样的p 称为这个分布的阶数(order),称S 为一个p 阶分布。

U上的分布集合记为D'(U),是D(U)的拓扑对偶空间。D'(U)中的元素S和D(U)中的元素\varphi之间的对偶关系可以用尖括号表示:

\mathrm{D}'(\mathbf{U}) \times \mathrm{D}( \mathbf{U} ) \ni (S, \varphi) \mapsto \langle S, \varphi \rangle \in \mathbf{R}.

在弱*拓扑下,D'(U)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中,弱*收敛的定义为:D'(U)中序列\left(S_k\right)_{k\in\mathbb{N}}弱*收敛到S当且仅当对于任意的检验函数\varphi,有

\langle S_k, \varphi\rangle \xrightarrow[]{k\to\infty} \langle S, \varphi\rangle

函数对应的分布[编辑]

一个局部可积函数f : \quad \mathbf{U} \rightarrow \mathbf{R}是指在U的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的Lp可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中,每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函,也就是D'(U)中的一个元素,记作T_f。线性泛函T_f作用在D(U)中任一个检验函数\varphi上的取值是:

\langle T_f,\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\, \mathrm{d}x.

一般约定,在不至于引起混淆的时候,可以将T_ff等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作:

\langle f, \varphi\rangle = \langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\,\mathrm{d}x.

可以证明,两个局部可积函数fg对应的分布相同,当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似,U上的每个Radon测度\mu都有一个对应的分布T_{\mu},定义为:

\langle T_{\mu},\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} \varphi\, \mathrm{d}\mu.

与函数的对应分布一样,测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来,比如将上式写成\scriptstyle{\langle\mu,\varphi\rangle}

可以注意到,检验函数也是局部可积的,所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的(对于以上定义的拓扑来说)。也就是说,任意一个分布S\in D\prime(\mathbf{U})都是某个检验函数(分布)序列\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}收敛的极限。对任意的检验函数\phi\in D(\mathbf{U}),都有:

\langle\varphi_n,\phi\rangle\to \langle S,\phi\rangle . \;

参见[编辑]

参考来源[编辑]

拓展阅读[编辑]