分數

數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\mathbb{N}$ 整數 $\mathbb{Z}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\mathbb{Q}$ 高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 代數數 $\mathbb{A}$ 實數 $\mathbb{R}$ 複數 $\mathbb{C}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數 四元數 $\mathbb{H}$ 共四元數 八元數 $\mathbb{O}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\mathbb{S}$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數的底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$ 無窮大量 ∞

分數是用分式（分數式）表達成$\frac{a}{b}$（其中a、b均为整数，例如：$\frac{1}{2}$）之有理數。在上式之中，b稱為分母而a稱為分子，可視為某件事物平均分成b份中佔a分，讀作「b分之a」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用a/b來表示分數。

分數這個概念和除法、比例很相似，分數是一種值，除法較重視計算，比例重視兩件事物之間的比較。若a及b為整數，則除了有餘數的計算之外，除法和分數得出來的結果都相同。

分類

最簡分數(Simple Fraction)

分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：$\frac{17}{19}$

真分數(Proper Fraction)

除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：$\frac{3}{7}$

假分數(Top-heavy/Improper Fraction)

假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母或分子等于分母的分数，可寫成帶分數。例如：$\frac{5}{2}$

帶分數(Mixed Numeral)

一個整數加一個真分數，例如$d \frac{a}{b}$，讀作「d又b分之a」；又例如$1 \frac{1}{2}$，就是一又二分之一。可寫成假分數，與$\frac{( d \times b ) + a }{b}$等價。

單位分數

分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如：$\frac{1}{99}$

古埃及分數

將分數表達成單位分數之和。例如：$\frac{19}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{180}$

繁分數

分子和/或分母包含了分數，例如$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等如$\frac{ad}{bc}$。

連分數

外觀如$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\dots}}}$的分數，其中a_i是整數。若只有有限個a_i非零，則連分數是一個分數。

小數、百分率可視為分數的另一種寫法。

分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

约分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。 約分後的分數和原來分數的值相等。

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。 擴分後的分數和原來分數的值相等。

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}$

乘法及除法

分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

$\frac{1}{5} \div \frac{7}{11} = \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} = \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}$

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