分式環

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抽象代數中,分式環分式域是包含一個整環的最小,典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環,此時通常稱作全分式環

分式環有時也被稱為商域,但此用語易與商環混淆。

構造[编辑]

分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 R 為一個整環,而 S := R - \{0\}

在集合 R \times S 上定義下述等價關係 \sim

(r,s) \sim (r',s') \iff  rs' - r's = 0

等價類 [r,s] 可以想成「分式」 r/s,上述等價關係無非是推廣有理數的通分;藉此類比,在商集 (R \times S)/\sim 上定義加法與乘法為:

[r,s] + [r',s'] = [rs'+r's, ss']
[r,s] [r',s'] = [rr',ss']

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 R \rightarrow (R \times S)/\sim,定義為 r \mapsto [r,1];這是一個單射。於是可定義分式環 T(R) :=  (R \times S)/\sim,再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上,我們常逕將 T(R) 裡的元素寫作分式 r/s

泛性質[编辑]

整環 R 的分式環 K(R) 及其自然環同態 R \rightarrow K(R) 滿足以下的泛性質

對任何環 T 及環同態 \phi: R \rightarrow T,若 R-\{0\} 中的元素在 \phi 下的像皆可逆,則存在唯一的環同態 \psi: T(R) \rightarrow T,使得 \phiR \rightarrow T(R)\psi 的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明:任何一組資料 (K, \phi: R \rightarrow T) 若使得 K-\{0\} 中的元素在 \phi 下的像皆可逆,且滿足上述泛性質,則 K 必與 T(R) 同構。

例子[编辑]

推廣[编辑]

更多資料:局部化

對於一般的交換環 R(容許有零因子 ),分式環是一種退而求其次的建構:我們想找使 R \rightarrow S^{-1}R 為單射的「最大」局部化,詳述如下:

SR 中的非零因子所成子集,它是個積性子集,因此可對之作局部化。令 T(R) := S^{-1}R,此時 T(R) 常被稱作 R全分式環