分数微积分

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数学上,分数微积分(fractional calculus)数学分析的一个分支,它研究微分算子D= d/dx和积分算子J实数次幂的可能应用(通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆)。

在这个上下文中,指反复应用,和

\, f^2 (x) = f(f(x))

中的平方意义相同。例如,可以提出如何解释如下符号的问题

\sqrt{D}=D^{\frac{1}{2}}

作为微分算子的平方根(半次操作),也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的,

D^n

对于实数值的n,使得当n为整数时,若n>0,它等同于通常的幂n次操作,当n<0,它等同于n次积分J

讨论这个问题有几个原因。一个是,这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究,有一个有趣的理论。注意,分数是个错误的记号,因为指数可以取非有理数,但是分数微积分已成为习惯用法。

试探法[编辑]

一个很自然的想法是问,是否存在一个算子H起到半导数的作用,即使得:

H^{2}f (x)=Df (x)=\frac{d}{dx}f (x)=f'(x)

结论是:这样的算子是存在的,对于任意a > 0,存在一个算子P,满足:

(P ^ a f)(x) = f'(x)

或者换一个说法, \dfrac{d^ny}{dx^n}的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函數的定义如下:

n! = \Gamma(n+1)

假设对函数f (x) ( x > 0 )在0到x上求积分,我们可以形式的定义积分算子J:

(J f )( x ) = \int_0^x f (t) \; dt

重复这个过程,可得:

(J^2 f)(x) = \int_0^x ( J f )(t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt,

这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式,即:

(J^{n} f)(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f (t) \; dt

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用\Gamma函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

(J^{\alpha}f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}f (t)\; dt

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f=\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}\int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1}f (t) \; dt

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难,而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

分数微分在一个简单函数上的应用[编辑]

函数f (x)=x(蓝色线条)的半导数(紫色线条)以及一阶导数(红色线条)
這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x(藍色),結果在一般的積分(α=−1: y=12x2,紫色)到一般的一次微分(α=+1: y=1,紅色)連續變化。

假设有一个函数

 f (x)=x^k\;。它的一阶导数一般是:
 f'(x)=\dfrac{d}{dx}f (x)=k x^{k-1}\;。重复这一过程,得到更一般的结果:
 \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;,将阶乘伽玛函数替换,可得:
 \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\;。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数x的半导数:
 \dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-1/2+1)}x^{1-1/2}=\dfrac{1!}{\Gamma(3/2)}x^{1/2} =
\dfrac{2x^{1/2}}{\sqrt{\pi}}。重复这一过程,得:
\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}2 \pi^{-1/2}x^{1/2}=2 \pi^{-1/2}\dfrac{\Gamma(1+1/2)}{\Gamma(1/2-1/2+1)}x^{1/2-1/2}=2 \pi^{-1/2}\dfrac{\Gamma(3/2)}{\Gamma (1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1,这正是期望的结果:
 \left(\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子,(1+i)阶导数作用后,(1-i)阶导数再作用,可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果(当0<\alpha<1)。

D^{\alpha}f (x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f (t)}{(x-t)^{\alpha}}dt

对于任意的\alpha,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义,需要在分数微分前先进行整数微分。例如

D^{3/2}f (x)=D^{1/2}D^{1}f (x)=D^{1/2}\frac{d}{dx}f (x)

应用[编辑]

WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时,系统哈密顿量H=p^{2}+V (x)V (x)的倒数V^{-1}(x)可由对态密度的半阶微分求出

V^{-1}(x)=2\sqrt{\pi}\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}n (x)

这里采用了自然单位制,即\hbar=2m=1[1]

相關條目[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore;(2014)ISBN 978-981-4551-09-0http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934)

外部链接[编辑]