分数微积分

数学上，分数微积分(fractional calculus)是数学分析的一个分支，它研究微分算子$D= d/dx$和积分算子J的实数次幂的可能应用(通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆)。

在这个上下文中，幂指反复应用，和

$\, f^2(x) = f(f(x))$

中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题

$\sqrt{D}=D^{\frac{1}{2}}$

作为微分算子的平方根(半次操作),也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的，

$D^s$

对于实数值的s，使得当s为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。

讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dⁿ组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数,但是分数微积分已成为习惯用法。

试探法

一个很自然的想法是问, 是否存在一个算子$H$起到半导数的作用，即使得:

$H^{2}f(x)=Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$

结论是: 这样的算子是存在的, 对于任意$a > 0$, 存在一个算子$P$, 满足:

$(P ^ a f)(x) = f'(x) \,$,

或者换一个说法, $\dfrac{d^ny}{dx^n}$的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函數的定义如下:

$n! = \Gamma(n+1) \,$.

假设对函数$f(x)$ $( x > 0 )$在0到x上求积分, 我们可以形式的定义积分算子J:

$( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; dt$

重复这个过程, 可得:

$( J^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( J f ) ( t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt$,

这个过程可以任意的重复下去.

利用重复积分的柯西公式，即:

$( J^{n} f ) ( x ) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f(t) \; dt$

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用$\Gamma$函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

$(J^{\alpha}f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}f(t)\; dt$

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

$(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f=\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}\int_0^x(x-t)^{\alpha+\beta-1}f(t) \; dt$

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

分数微分在一个简单函数上的应用

函数$f(x)=x$(蓝色线条)的半导数(灰色线条)以及一阶导数(红色线条).

假设有一个函数

$f(x)=x^k\;.$

它的一阶导数一般是:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)=k x^{k-1}\;.$

重复这一过程, 得到更一般的结果:

$\dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;,$

将阶乘用伽玛函数替换, 可得:

$\dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\;.$

当k = 1, 并且a = 1/2 时我们可以得到函数$x$的半导数:

$\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-1/2+1)}x^{1-1/2}=\dfrac{1!}{\Gamma(3/2)}x^{1/2} = \dfrac{2x^{1/2}}{\sqrt{\pi}}.$

重复这一过程, 得:

$\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}2 \pi^{-1/2}x^{1/2}=2 \pi^{-1/2}\dfrac{\Gamma(1+1/2)}{\Gamma(1/2-1/2+1)}x^{1/2-1/2}=2 \pi^{-1/2}\dfrac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1,$

这正是期望的结果:

$\left(\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1.$

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次. 举个例子, $(1+i)$阶导数作用后, $(1-i)$阶导数再作用, 可以得到二阶导数. 同时如果a为负则可为求积分.

分数微分可以得到上述相同的结果(当$0<\alpha<1$).

$D^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha}}dt$

对于任意的$\alpha$, 由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义, 需要在分数微分前先进行整数微分. 例子,

$D^{3/2}f(x)=D^{1/2}D^{1}f(x)=D^{1/2}\frac{d}{dx}f(x)$

应用

WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量$H=p^{2}+V(x)$中$V(x)$的倒数$V^{-1}(x)$可由对态密度的半阶微分求出

$V^{-1}(x)=2\sqrt{\pi}\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}n(x)$

这里采用了自然单位制，即$\hbar=2m=1$

相關條目

• Γ函數

外部链接

• MathWorld - Fractional calculus
• MathWorld - Fractional derivative
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
• http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html
• http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html
• History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF), by Adam Loverro, University of Notre Dame