分数傅里叶变换

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Noise：繁體：雜訊；简体：噪声； 当前語言下顯示→噪声
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Code division：香港：碼分；简体：码分；繁體：分碼； 当前語言下顯示→码分
TDMA：香港：時分多址；简体：时分多址；繁體：分時多工； 当前語言下顯示→时分多址
FDMA：香港：頻分多址；简体：频分多址；繁體：分頻多工； 当前語言下顯示→频分多址
CDMA：香港：碼分多址；简体：码分多址；繁體：分碼多工； 当前語言下顯示→码分多址
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Packet：繁體：封包；简体：分组； 当前語言下顯示→分组
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DVB-H：简体：电视信号；繁體：電視訊號； 当前語言下顯示→电视信号
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傅里叶变换族
拉普拉斯轉換
Z轉換
傅里叶级数
傅里叶变换
连续傅里叶变换
離散傅利葉級數
离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换
快速傅里叶变换
分數傅利葉轉換
短時傅利葉轉換
小波分析
離散小波轉換
编辑

在數學文獻中，分數傅利葉轉換(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅利葉轉換(Fourier transform,FT)的廣義化。近幾年來，分數傅利葉轉換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分(fractional convolution)、分數相關(fractional correlation)……等許多相關的數學運算。

分數傅利葉轉換的物理意義即做傅利葉轉換 $a$ 次，其中 $a$ 不一定要為整數；而做了分數傅利葉轉換之後，信號或輸入函數便會出現在介於時域(time domain)與頻域(frequency domain)之間的分數域(fractional domain)，。

若再更進一步地廣義化分數傅利葉轉換，則可推廣至線性標準轉換(linear canonical transform,LCT)。

[编辑] 由來

對信號 $x (t)$ 做一次傅利葉轉換的結果為 $\mathcal{F}(x)$ ，做兩次傅利葉轉換的結果為 $\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$ ，我們表示成 $\mathcal{F}^2=\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$ ，而當我們做了 $a$ 次的傅利葉轉換可以寫成一般式 $\mathcal{F}^a(x)=\mathcal{F}^{(a-1)}(\mathcal{F}(x))$ 。至此，我們都以 $a$ 為整數做考量，當我們令 $a=\frac{2\phi}{\pi}$ 即 $\phi=\frac{1}{2} a\pi$ 時，我們將 $x (t)$ 的分數傅利葉轉換定義為 $\mathcal{F}_\phi (x)=\mathcal{F}^{2\phi /\pi}(x)$ ，其中 $φ$ 可以不必為整數。

[编辑] 定義

$X_\phi (u) = \sqrt{1-jcot\alpha}\cdot e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^2} x(t) dt$

另外也有另外一種定義

$X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-jcot\alpha}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-jcsc\phi \cdot ut} e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt$

當 $φ = 0.5π$ 的時候，分數傅利葉轉換就成了傅利葉轉換。

[编辑] 特性

且 $\mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$ ，則可推廣為 $\mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f))$ ;依此類推， $\mathcal{F}^{-n}(F)$ 表示 $F (ω)$ 的n次逆變換 $\mathcal{F}^{-1}(F)$ 。

而分數傅利葉轉換將以上定義推廣至非整數次的 $n = 2α / π$ ，且 $α$ 為實數，表示為 $\mathcal{F}_\alpha(f)$ ，以下為其性質：

$\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f)$ ，當然 $n = 2α / π$ 是一個整數時亦成立。

又 $\mathcal{F}_{\alpha+\beta}(f) = \mathcal{F}_\alpha(\mathcal{F}_\beta(f)) = \mathcal{F}_\beta(\mathcal{F}_\alpha(f))$ 。

而 $\mathcal{F}_\alpha(f)$ 更明確的定義如下： $\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = \sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2} f(t) dt$

我們注意到，當 $α = π / 2$ 時，這個定義就變成了連續傅利葉變換的定義 ; 而當 $α = - π / 2$ 時，它就變成了連續傅利葉變換之逆變換的定義。若 $α$ 為 $π$ 的整數倍，則 cotangent 和 cosecant函數不會收斂。

在這樣的情況下，我們可以取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況。簡而言之，因為 $\mathcal{F}^2(f)=f(-t)$ ，所以分別當 $α$ 是 $π$ 的偶數倍或奇數倍時，也就分別是 $f (t)$ 或 $f ( - t)$ 。

另外像類似的離散傅利葉轉換也存在這樣的分數推廣關係。

[编辑] 相關條目

其他的時間-頻率轉換：

[编辑] 外部連結

DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions

[编辑] 參考文獻

V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.