分离集合

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拓扑学和有关的数学分支中,分离集合是给定拓扑空间中以特定方式相互关联的一对子集。两个集合是否分离的概念对于连通空间(和它们的连通单元)和拓扑空间的分离公理的概念都是重要的。

分离集合不应该混淆于分离空间,它们有些关系但不相同的。而可分离空间是完全不同的拓扑概念。

定义[编辑]

有各种方式使拓扑空间 X 的两个子集被认为是分离的。

  • AB不相交的,如果它们的交集空集。这个性质与拓扑无关,只与集合论有关;我们在这里包括它是因为它在一序列的不同概念中是最弱的。不相交性的详情请参见不交集
  • ABX 中是分离的,如果每个都与另一个的闭包不相交。闭包自身不必须相互不相交;例如,区间 [0,1) 和 (1,2] 在实直线 R 中是分离的,即使点 1 属于它们的闭包。更一般的说,在任何度量空间中,两个开球 Br(x1) = {y:d(x1,y)<r} 和 Bs(x2) = {y:d(x2,y)<s} 是分离的,只要 d(x1,x2) ≥ r+s。注意任何两个分离的集合自动的必定是不相交的。
  • AB由邻域分离的,如果它们有 A邻域 UB 的邻域 V 使得 UV 是不相交的。(有时你会见到要求 UV邻域,但在这里没有区别)。例如 A = [0,1) 和 B = (1,2],你可以选取 U = (-1,1) 和 V = (1,3)。注意如果任何两个集合是由邻域分离的,则它们当然是分离的。如果 AB 是开集并且不相交,则它们必定由邻域分离;只要取 U := AV := B。为此分离性经常与闭集一起使用(比如在正规分离公理中)。
  • AB由闭邻域分离的,如果有 A邻域 UB 的闭邻域 V 使得 UV 不相交的。例如,[0,1) 和 (1,2] 不是由闭邻域分离的。你可以通过包括点 1 在其中而使任何一个 UV 闭合,但是你不能使它们都闭合而仍保持它们不相交。注意如果任何两个集合是由闭邻域分离的,则它们当然是由邻域分离的。
  • AB由函数分离的,如果存在从空间 X 到实直线 R连续函数 f 使得 f(A) = {0} 而 f(B) = {1}。(有时你会看到在这个定义中用单位区间 [0,1] 替代 R,但是在这里没有区别。) 例如,[0,1) 和 (1,2] 不是由函数分离的,因为无法在点 1 连续的定义 f。注意如果两个集合是由函数分离的,则它们也是由闭邻域分离的;邻域可以给出为 f前像,即 U := f-1[-e,e] 和 V := f-1[1-e,1+e],只要 e 是小于1/2 的正实数
  • AB由函数完全分离的,如果存在从 XR 的连续函数 f 使得 f -1(0) = Af -1(1) = B。(你还会再次见到在定义中用单位区间替代 R,再次是没有区别的。) 注意如果两个集合是由函数完全分离的,则它们当然是由函数分离的。既然 {0} 和 {1} 闭合在 R 中,只有闭集有能力被函数完全分离;正因为两个集合是闭集而且由函数分离不意味着它们自动的由函数(甚至不同的函数)完全分离的。

与分离公理和分离空间的关系[编辑]

分离公理是可以依据各种类型的分离集合描述的可以施加到拓扑空间上的各种条件。作为例子,我们定义 T2 公理,它是施加在分离空间上的条件。特别的,一个拓扑空间是分离的,如果给定任何两个独特的点 xy,值得单元素集合 {x} 和 {y} 是由邻域分离的。

分离空间也叫做“豪斯多夫空间”或“T2 空间”。分离空间的进一步讨论可以在豪斯多夫空间中找到。各种分离公理的讨论见于分离公理

与连通空间的关系[编辑]

给定一个拓扑空间 X,有时考虑子集 A 是否可以分离于它的补集是有用的。这当然为真,如果 A 要么为空集要么为整个空间 X,但是还有其他可能性。拓扑空间 X 是“连通”的,如果只有这两种可能性。 反过来说,如果非空子集 A 是分离于它自己的补集,并且如果唯一共享这个性质的 A 的子集是空集,则 AX 的“非开连通单元”。(在 X 自身是空集 {} 的退化情况下,作者们对 {} 是否为连通的和 {} 是否是自身的开连通单元是有分歧的)。

详情请参见连通空间

与拓扑可区分点的关系[编辑]

给定拓扑空间 X,两个点 xy 是“拓扑可区分”的,如果存在一个点属于它而另一个点不属于它的开集。如果 xy 是拓扑可区分的,则单元素集合 {x} 和 {y} 必定是不相交的。在另一方面,如果单元素集合 {x} 和 {y} 是分离的,则点 xy 必定是拓扑可区分的。因为对于单元素集合,拓扑可区分性是在不相交性和可分离性之间的条件。

关于拓扑可区分点的详情请参见拓扑可区分性