分类公理

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公理化集合论和使用它的逻辑数学计算机科学分支中,分类公理模式、或分离公理模式、或受限概括公理模式Zermelo-Fraenkel 集合论中的一个公理模式。它也叫做概括公理模式,尽管这个术语也用于下面讨论的无限制概括。

假定 P 是不含符号 B 的一个單变量谓词。在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理模式读做:

\forall A, \exist B, \forall x: x \in B \iff x \in A \and P(x)

换句话说:

给定任何集合 A有着一个集合 B,使得给定任何集合 x,有 xB 的成员当且仅当 xA 的成员并且 P 对于 x 成立。注意对于所有这种谓词 P 都有一个公理,所以这是个公理模式

要理解这个公理模式,注意集合 B 必须是 A子集。所以,这个公理模式实际上说的是,给定集合 A 和谓词 P,我们可以找到 A 的子集 B,它的成员正是那些满足 PA 的成员。通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们通常使用集合建構式符号把它指示为 {xA : P(x)}。所以这个公理的本质是:

一个集合的通过一个谓词定义的任何子类自身是一个集合。

分类公理模式是与 ZFC 集合论有关的公理集合論系統的特征,但在根本上不同的可替代的集合论系统中通常不出现。例如,新基礎集合論正集合论使用对朴素集合论概括公理的不同的限制。Vopenka 的可替代的集合论有一个特殊要点,它允许集合的真子类的存在,這樣的真類叫做半集合。即使在与 ZFC 有关的系统中,这个公理模式有时也限制于带有有界量词英语Bounded quantifier的公式,比如在 KPU 中。

与替代公理模式的关系[编辑]

分离公理模式几乎可以單从替代公理模式推导出来。

首先,替代公理模式读做:

\forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x: x \in A \and y = F(x)

其中F是不使用符号 A, B, xy 的任何一个变量泛函谓词 。给定适用于分类公理的一个谓词 P,定义映射 F 为:F(x) = x 如果 P(x) 为真,F(x) = z 如果 P(x) 为假,这里的 zA 的使 P(z) 为真的任何成员。那么替代公理所保证的集合 B 完全就是分类公理所要求的集合 B。唯一的问题是这样的 z 有可能不存在。但是在这种情况下,分离公理所要求的集合 B 是个空集,所以分离公理可从替代公理和空集公理共同得出。

为此,分离公理模式经常从现代 Zermelo-Fraenkel 公理列表中省略。但是出于历史的考虑,和同下面章节中的集合论的可替代的公理化的比较,它仍是重要的。

无限制概括[编辑]

无限制的概括公理读做:

\exist A, \forall x, x \isin A \harr P \left(x\right)

就是说:

存在着一个集合 A,它的成员正是满足谓词 P 的那些对象。同樣地,集合 A 也是唯一的,并通常指示为 {x : P(x)}。

在采纳严格公理化之前,这个公理模式默认的用在早年的朴素集合论中。不幸的是,若然把P(x)替換成(xx),它就直接导致了罗素悖论。所以,有用的集合论的公理化都不能包括无限制概括,至少不跟经典逻辑一同被使用。

只接受分类公理模式是公理化集合论的开端。多数其他 Zermelo-Fraenkel 公理(不包括外延公理正规公理)对充当对概括公理模式的额外替代是必须的;每个公理都声称一个特定集合存在,并通过给出它的成员必须满足的谓词来定义这个集合。

在 NBG 类理论中[编辑]

von Neumann-Bernays-Gödel 集合论中,對集合和這兩者作出了区分。一个类 x 是集合,当且仅当它属于某个类 B。在这个理论中,有一个定理模式读做:

\exist A: \forall x, x \isin A \harr \left(P\left(x\right) \and \exist B, x \isin B \right)

定义了  Set(x) \leftrightarrow \exist A, x \in A 之后,它可以简写为

\exist A: \forall x, x \isin A \harr \left(P\left(x\right) \and Set(x) \right)

就是说:

有一个类 A 使得任何类 xA 的成员,当且仅当 x 是满足 P 的一个集合。这个定理模式自身是受限的概括,避免了罗素悖论,因为它要求 x 是一个集合。接着把集合自身的分类写为单一的公理:
\forall A, \forall x, \left(\exist B, x \isin B\right) \rarr \exist y, \left(\exist B, y \isin B \right) \and \forall z, z \isin y \harr \left(z \isin x \and z \isin A \right)

就是说:

给定任何类 A 和任何集合 x,有一个集合 y,它的成员完全是 xA 二者共有的成员;

定义了  \forall x,x \in A \cap B \leftrightarrow  x \in A \land x \in B 之后,它可以简写为:

\forall A, \forall x, Set(x) \rarr \exist y, Set(y) \and y= x \cap A

就是的说:

A 和集合 x交集是一个集合 y

在这个公理中,谓词 P 被替代为可量化在其上的类 A

在二阶逻辑中[编辑]

二阶逻辑中,我们可以在谓词上作量化,而概括公理模式成为简单的公理。这使用了同前面章节 NBG 公理一样的技巧,把谓词替代为一个类并接着量化于其上。

在蒯因的新基础中[编辑]

蒯因所开创的新基础集合论中,给定谓词的概括公理采用无限制形式,但是对可以用于这个模式的谓词自身是有限制的。谓词 (xx) 是禁止的,因为同一个符号 x 出现在成员关系符号的两端(因而有不同“相对类型”);因此避免了罗素悖论。 但是,把 P(x) 替換为 (x = x) 是允许的,我们可以形成所有集合的集合。详情请参见层化

參考文獻[编辑]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.