分裂域

在抽象代数中，一个系数域为 $\mathbb{K}$ 的多项式 $P(x)\,$的分裂域（根域）是 $\mathbb{K}$ 的“最小”的一个扩域 $\mathbb{L}$ ，使得在其中 $P\,$可以被分解为一次因式 $x-r_i\,$ 的乘积，其中的 $r_i\,$ 是 $\mathbb{L}$ 中元素。一个 $\mathbb{K}$ 上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，$\mathbb{K}$ 上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义

称一个系数域为 $\mathbb{K}$ 的多项式 $P(x)\,$ 在 $\mathbb{K}$ 的某个扩域 $\mathbb{L}$ 中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：

$P = \sum_{i=0}^k a_i x^i = \prod_{i=1}^k (x- r_i)$

其中的 $a_i \in \mathbb{K}$，$r_i \in \mathbb{L}$。换句话来说，$P\,$的根都在 $\mathbb{L}$ 中。

使得 $P\,$ 在其中分裂的扩域 $\mathbb{L}$ 有很多，譬如对于某个使得$P\,$分裂的的 $\mathbb{L}$，它任意的扩域 $\mathbb{L}'$ 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域 $\mathbb{E}$ ：

1. 在 $\mathbb{E}$ 里，$P\,$， 可以分解为一次因式的乘积；
2. 在 $\mathbb{E}$ 的任何真子域（不等于自身）里，$P\,$都无法如此分解。

这样的扩域称为 $P\,$ 在 $\mathbb{K}$ 上的分裂域。

例子

如果 $\mathbb{K}$ 是有理数域 $\mathbb{Q}$，多项式为

$P(x)=x^3-2\,$

那么其分裂域 $\mathbb{L}$ 可以是在 $\mathbb{Q}$ 中添加三次单位根 $\omega\,$ 和2的立方根而得到的扩域：$\mathbb{Q}(\omega , \sqrt[3]{2} )$。因为这时 $P\,$ 可以写作：

$P = (x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})(x-\omega^2 \sqrt[3]{2})$

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：

• 多项式 $x^2+1\,$在实数域 R 上的分裂域是复数域 C。
• 多项式 $x^2+1\,$在准有限域 GF₇ 上的分裂域是 GF_7².

多项式 $x^2-1\,$ 在准有限域 GF₇ 上的分裂域是 GF₇，因为在其上 $x^2-1=(x+1)(x-1)\,$ 已经分解完毕。

性质

给定多项式 $P(x)\,$， 在 $\mathbb{K}$ 上的分裂域 $\mathbb{E}$，假设在 $\mathbb{E}$ 里 $P\,$， 分解为

$P = \prod_{i=1}^k (x - r_i)$

那么 $\mathbb{E} = \mathbb{K}(r_1, r_2, \cdots , r_k)$。

对于域 $\mathbb{K}$ 的一个代数闭域扩域 $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{K}$ 上的一个多项式$P\,$，存在 $P\,$在 $\mathbb{K}$ 上的唯一的一个分裂域 $\mathbb{L}$，使得 $\mathbb{K} \subset \mathbb{L} \subset \mathbb{A}$。

对于 $\mathbb{K}$ 的一个可分扩张 $\mathbb{K}'$， $\mathbb{K}'$ 的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是 $\mathbb{K}$ 的包含 $\mathbb{K}'$ 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了 $\mathbb{K}'$ 中任意元素 $a\,$,在 $\mathbb{K}$ 上的极小多项式在 $\mathbb{K}$ 上的分裂域。

参见

• 代数扩张
• 正规扩张
• 极小多项式
• 可分扩张

参考来源

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
• David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接

• 李華介, 簡介 Galois 理論