分配律

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抽象代数中,分配律二元运算的一个性质,它是基本代数中的分配律的推广。

例如:

2· (1 + 3) = (2·1) + (2·3).

在以上等式的左端,是2乘以1与3的和;在等式的右端,则是分别计算1、3与2的乘积,然后再把它们相加起来。由于它们得出的结果相同,我们称乘以2对加上1和3满足分配律。

由于以上的等式对于任何实数都是成立的,我们称实数的乘法对实数的加法满足分配律。

定義[编辑]

設*及 + 是定义在集合S上的兩個二元運算,我們說

  • *对于 + 满足左分配律,如果:
∀ x,y,z ∈ S, x * (y+z) = (x*y) + (x*z);
  • *对于 + 满足右分配律,如果:
∀ x,y,z ∈ S, (y+z) * x = (y*x) + (z*x);
  • 如果*对于 + 同時满足左分配律和右分配律,那么我們說*对于 + 满足分配律。

如果*满足交换律,那么以上三条语句在邏輯上是等价的。

例子[编辑]

  • 除了实数以外,自然数复数基数中的乘法都对加法满足分配律。
  • 然而,序数的乘法对加法只满足左分配律,不满足右分配律。
  • 矩阵乘法矩阵加法满足分配律(但不满足交换律)。
  • 集合并集交集满足分配律,交集对并集也满足分配律。另外,交集对对称差也满足分配律。
  • 逻辑析取逻辑合取满足分配律,逻辑合取对逻辑析取也满足分配律。另外,逻辑合取对逻辑异或也满足分配律。
  • 对于实数(或任何全序集合),最大值对最小值满足分配律,反之亦然:max(a,min(b,c)) = min(max(a,b),max(a,c)),min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c))。
  • 对于整数最大公因子最小公倍数满足分配律,反之亦然:gcd(a,lcm(b,c)) = lcm(gcd(a,b),gcd(a,c)),lcm(a,gcd(b,c)) = gcd(lcm(a,b),lcm(a,c))。
  • 对于实数,加法对最大值满足分配律,对最小值也满足分配律:a + max(b,c) = max(a+b,a+c),a + min(b,c) = min(a+b,a+c)。

环的分配律[编辑]

分配律在环和分配格中很常见。

一个环有两个二元运算(通常称为"+"和"*"),其中一个要求是*必须对+满足分配律。

是另外一种具有两个二元运算^和v的代数结构。如果这两个运算中的任何一个(例如^)对另外一个(v)满足分配律,则v对^也一定满足分配律,这时这个格便称为分配格。

參考[编辑]