分離變數法

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微积分学

$\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

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數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，我們可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只相依於一個變數，而剩餘部分則不相依於此變數．這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零．

常微分方程

假若，一個常微分方程可以寫為

$\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))\,\!$ 。

設定變數 $y = f(x)\,\!$ 。那麼，

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\,\!$ ．(1)

只要是 $h(y)\ne 0\,\!$ ，我們就可以將方程式兩邊都除以 $h(y)\,\!$ ，再都乘以 $dx\,\!$ ：

${dy \over h(y)} = {g(x)dx}\,\!$ 。

這樣，可以將兩個變數 $x\,\!$ ，$y\,\!$ 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式不相依於另外一邊的變數，表達式恆等於常數 $k\,\!$ 。因此，我們可以得到兩個較易解的常微分方程；

${dy \over h(y)} = {g(x)dx}=k\,\!$ 。

第二種方法

有些不喜歡用萊布尼茨標記 (Leibniz's notation) 的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

$\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)\,\!$ 。

這寫法有一個問題：我們無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著 $x\,\!$ 積分公式的兩邊，可以得到

$\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx\,\!$ 。(2)

應用換元積分法，

$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx \,\!$ 。

假如，我們可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。我們可以察覺，這方法允許我們將導數 $\frac{dy}{dx}\,\!$ 當做可分的分式看待。我們可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，

實例 (I)

常微分方程式 $\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x))\,\!$ 可以寫為

$\frac{dy}{dx}=y(1-y)\,\!$ ；(3)

其中，$y=f(x)\,\!$ 。

設定 $g(x)=1\,\!$ ，$h(y)=y(1 - y)\,\!$ 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則

$\frac{dy}{y(1 - y)}=dx\,\!$ 。

變數 $x\,\!$ ，$y\,\!$ 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，

$\int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx\,\!$ 。

積分的結果是

$\ln |y| - \ln |1 - y|=x+C\,\!$ ；

其中，$C\,\!$ 是個積分常數 (constant of integration) 。稍加運算，則可得

$y=\frac{1}{1+Be^{ - x}}\,\!$ 。

在這裏，讓我們檢查此解答的正確與否。計算導數 $\frac{dy}{dx}\,\!$ 。答案應該與原本的問題相同。（我們必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 $B\,\!$ 的正值與負值。而當 $y=1\,\!$ 時，$B=0\,\!$ ）。

特別注意，由於我們將公式 (3) 的兩邊除以 $y\,\!$ 跟 $(1 - y)\,\!$ ，我們必須檢查兩個函數 $y(x) = 0\,\!$ 與 $y(x) = 1\,\!$ 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱奇異解 (singular solution) 。

實例 (II)

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

$\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)\,\!$ ；

其中，$P\,\!$ 是人口數值函數，$t\,\!$ 是時間參數， $k\,\!$ 是成長的速率，$K\,\!$ 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以$P\left(1-\frac{P}{K}\right)\,\!$ ．再隨著時間 $t\,\!$ 積分，

$\int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt\,\!$ 。

應用換元積分法，

$\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt\,\!$ 。

稍微運算，則可得

$P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}}\,\!$ ；

其中，$A\,\!$ 是常數。

偏微分方程

給予一個 $n\,\!$ 元函數 $F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)\,\!$ 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，我們可以猜想一個解答；解答的形式為

$F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n) \,\!$ ，

或者

$F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n) \,\!$ 。

時常，對於每一個自變量 $x_i\,\!$ ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

實例 (III)

假若，函數 $F(x,\ y,\ z)\,\!$ 的偏微分方程為

$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0\,\!$ 。

猜想解答為

$F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)\,\!$ 。

那麼，

$\frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0 \,\!$ 。

因為 $X(x)\,\!$ 只相依於 $x\,\!$ ，$Y(y)\,\!$ 只相依於 $y\,\!$ ，$Z(z)\,\!$ 只相依於 $z\,\!$ ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，我們將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：

$\frac{dX}{dx} = c_1\,\!$ ，

$\frac{dY}{dy} = c_2\,\!$ ，

$\frac{dZ}{dz} = c_3\,\!$ ；

其中，$c_1,\ c_2,\ c_3\,\!$ 都是常數，$c_1 + c_2 + c_3 = 0\,\!$ 。

偏微分方程的答案為

$F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4\,\!$ ；

其中，$c_4\,\!$ 是常數。

實例 (IV)

思考一個典型的偏微分方程，

$\nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0\,\!$ 。

首先，猜想答案的形式為

$v = X(x)Y(y)\,\!$ 。

代入偏微分方程，

${\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0\,\!$ 。

或者，用單撇號標記，

$X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0\,\!$ 。

將方程式的兩邊除以 $X(x)Y(y)\,\!$ ，則可得

${X''(x)\over X(x)}= - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}\,\!$ 。

由於任何一邊的表達式不相依於另外一邊的變數，表達式恆等於常數 $k\,\!$ ：

${X''(x)\over X(x)} = k = - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}\,\!$ 。

因此，可以得到兩個新的常微分方程式：

$X''(x) - kX(x)=0\,\!$ ，

與

$Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0\,\!$ 。

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若，$k < 0<\lambda+k\,\!$ ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

$X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x)\,\!$ ，

$Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y)\,\!$ ；

其中，$A_x,\ A_y\,\!$ 是振幅常數，$B_x,\ B_y\,\!$ 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱

• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 哈密頓-雅可比方程
• 亥姆霍茲方程

參考文獻

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。