分離變數法

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

數學上,分離變數法是一種解析常微分方程偏微分方程的方法。使用這方法,可以藉代數來將方程式重新編排,讓方程式的一部分只含有一個變數,而剩餘部分則跟此變數無關。這樣,隔離出的兩個部分的值,都分別等於常數,而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程[编辑]

假若,一個常微分方程可以寫為

\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))

設定變數 y = f(x) 。那麼,

\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)(1)

只要是 h(y)\ne 0 ,就可以將方程式兩邊都除以 h(y) ,再都乘以 dx

{dy \over h(y)} = {g(x)dx}

這樣,可以將兩個變數 xy 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關,表達式恆等於常數 k 。因此,可以得到兩個較易解的常微分方程;

{dy \over h(y)} = {g(x)dx}=k

第二種方法[编辑]

有些不喜歡用萊布尼茨標記 (Leibniz's notation) 的數學家,或許會選擇將公式 (1) 寫為

\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)

這寫法有一個問題:無法比較明顯的解釋,為什麼這方法叫作分離變數法?

隨著 x 積分公式的兩邊,可以得到

\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx(2)

應用換元積分法

\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx

假如,可以求算這兩個積分,則這常微分方程有解。這方法允許將導數 \frac{dy}{dx} 當做可分的分式看待,可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋,

實例 (I)[编辑]

常微分方程式 \frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x)) 可以寫為

\frac{dy}{dx}=y(1-y)(3)

其中,y=f(x)

設定 g(x)=1h(y)=y(1 - y) 。套用公式 (1) ,這常微分方程式是可分的。

進一步編排,則

\frac{dy}{y(1 - y)}=dx

變數 xy 分別在公式的兩邊。將兩邊積分,

\int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx

積分的結果是

\ln |y| - \ln |1 - y|=x+C

其中,C 是個積分常數。稍加運算,則可得

y=\frac{1}{1+Be^{ - x}}

在這裏,檢查此解答的正確與否。計算導數 \frac{dy}{dx} 。答案應該與原本的問題相同。(必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值,分別地造成了 B 的正值與負值。而當 y=1 時,B=0 )。

特別注意,由於將公式 (3) 的兩邊除以 y(1 - y) ,必須檢查兩個函數 y(x) = 0y(x) = 1 是否也是常微分方程式的解答(在這個例子裏,它們都是解答)。參閱奇異解 (singular solution) 。

實例 (II)[编辑]

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)

其中,P 是人口數值函數,t 是時間參數, k 是成長的速率,K 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以P\left(1-\frac{P}{K}\right) .再隨著時間 t 積分,

\int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt

應用換元積分法

\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt

稍微運算,則可得

P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}}

其中,A 是常數。

偏微分方程[编辑]

給予一個 n 元函數  F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)偏微分方程,有時候,為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程,可以猜想一個解答;解答的形式為

 F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n)

或者

 F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n)

時常,對於每一個自變量 x_i ,都會伴隨著一個分離常數。如果,這個方法成功,則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

實例 (III)[编辑]

假若,函數 F(x,\ y,\ z) 的偏微分方程為

 \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0

猜想解答為

 F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)

那麼,

 \frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0

因為 X(x) 只含有 xY(y) 只含有 yZ(z) 只含有 z ,這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說,將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程:

\frac{dX}{dx} = c_1
\frac{dY}{dy} = c_2
\frac{dZ}{dz} = c_3

其中, c_1,\ c_2,\ c_3 都是常數, c_1 + c_2 + c_3 = 0

偏微分方程的答案為

 F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4

其中,c_4 是常數。

實例 (IV)[编辑]

思考一個典型的偏微分方程,

\nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0

首先,猜想答案的形式為

 v = X(x)Y(y)

代入偏微分方程,

 {\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0

或者,用單撇號標記,

 X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0

將方程式的兩邊除以 X(x)Y(y) ,則可得

{X''(x)\over X(x)}= - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}

由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關,表達式恆等於常數 k

 {X''(x)\over X(x)} = k = - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}

因此,可以得到兩個新的常微分方程式:

X''(x) - kX(x)=0
Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若,k < 0<\lambda+k ,則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x)
Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y)

其中,A_x,\ A_y 是振幅常數,B_x,\ B_y 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9