切比雪夫方程

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切比雪夫方程英语Chebyshev equation)是指二阶线性常微分方程

(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0

其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。

方程的解为幂级数

y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n

其中系数可通过以下递推关系式计算:

 a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n.

级数在x\in [-1, 1]上收敛(对递推关系式应用比值审敛法可得)。

递推关系的初值a0与a1可为任意值,由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为:

a0 = 1 ; a1 = 0,可得解
F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots

以及

a0 = 0 ; a1 = 1,可得解
G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots.

通解可表示为以上两特解的任意线性组合。

当p为整数时,两个函数中有一个为有限项:p为偶数时F为有限项,反之G为有限项。此时,那个为有限项的函数是一个p次多项式,并与p次切比雪夫多项式成比例:

T_p(x) = (-1)^{p/2}\ F(x)\, (p为偶数)
T_p(x) = (-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\, (p为奇数)

参考文献[编辑]