切比雪夫滤波器

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四阶第一类切比雪夫低通滤波器的频率响应图

切比雪夫滤波器(又译柴比雪夫滤波器)是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”,在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快,但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小,但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式,因此得名,用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫(Пафнутий Львович Чебышёв)。

特性[编辑]

I型切比雪夫滤波器[编辑]

I型切比雪夫滤波器最为常见。

n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示:


G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}

其中:

  • |\epsilon| < 1
  • |H(\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}} 是滤波器在截止频率\omega_0的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)
  • T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)n阶切比雪夫多项式:


T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cos\left(n\cdot\arccos\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; 0 \le \omega \le \omega_0
T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cosh\left(n\cdot \operatorname{arccosh}\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; \omega >  \omega_0

或:

T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = a_0 + a_1\frac{\omega}{\omega_0}  + a_2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega_0
T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \frac{
\left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^n +
\left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n}
}{2} ; \omega >  \omega_0

切比雪夫滤波器的阶数等于此滤波器的电子线路内的电抗元件数。


切比雪夫滤波器的幅度波动 = 20 \log_{10} \sqrt{1+\epsilon^2}分贝

\epsilon = 1,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭,可允许在复平面的 j\omega轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大,而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。

II型切比雪夫滤波器[编辑]

也称倒数切比雪夫滤波器,较不常用,因为频率截止速度不如I型快,也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动,只在阻频带内有幅度波动。

II型切比雪夫滤波器的转移函数为:

\left | H(\omega ) \right | ^2 = \frac{1}{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}

参数 ε 与 阻频带衰减度 γ 有如下关系:

\epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma}-1}} 分贝。

5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。

截止频率 fC = ωC/2 π

-3分贝频率fH截止频率 fC 有如下关系:

f_H = f_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)

使用范围[编辑]

  • 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动,可用第一类切比雪夫滤波器;如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动,可用第二类切比雪夫滤波器。

与其他滤波器的比较[编辑]

下图比较四种同阶低通滤波器:(左上)巴特沃斯滤波器、(右上)I型切比雪夫滤波器、(左下)II型切比雪夫滤波器(右下)椭圆函数滤波器

Electronic linear filters.svg

两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭; 但不如椭圆函数滤波器,然而后者幅度波动较大。

参考[编辑]