切比雪夫總和不等式

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數學上的切比雪夫總和不等式,或切比雪夫不等式,以切比雪夫命名。它可以比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小:

a_1 \geq a_2 \ge \cdots \geq a_n

b_1 \geq b_2 \ge \cdots \geq b_n

則有

n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right) \ge n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}

上式也可以寫作

\frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\frac1n \sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\frac1n \sum_{k=1}^n b_k\right) \ge \frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}

它是由排序不等式而來。

证明[编辑]

设有

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \,

b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \,

由排序不等式可知,最大的和为顺序和:

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,

于是有:

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,
\vdots \,
a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,

将这 n 个不等式分边相加,同时对右边进行因式分解,便得到:

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

两边都除以n^2,就得到切比雪夫不等式的第一个不等号:

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.

同理,右边的不等号可由最小的和为逆序和推得。

积分形式[编辑]

切比雪夫不等式的积分形式如下:

fg 是区间 [0,1]上的可积的实函数,并且两者都是递增(或递减)的,则有

 \int fg \geq \int f \int g.\,

上式可推广到任意区间。

相关条目[编辑]

外部鏈結[编辑]

Mathworld: Chebyshev Sum Inequality