切消定理

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切消定理是确立相继式演算重要性的主要结果。它最初由格哈德·根岑在他的划时代论文《逻辑演绎研究》对分别形式化直觉逻辑经典逻辑的系统 LJ 和 LK 做的证明。切削定理声称在相继式演算中,拥有利用了切规则的证明的任何判断,也拥有无切证明,就是说,不利用切规则的证明。

相继式是与多个句子有关的逻辑表达式,形式为 "A, B, C, \ldots \vdash N, O, P",它可以被读做 "A, B, C, \ldots 证明 N, O, P",并且(按 Gentzen 的注释)应当被理解为等价于真值函数 "如果 (A & B & C \ldots) 那么 (N or O or P)"。注意 LHS(左手端)是合取(and)而 RHS(右手端)是析取(or)。LHS 可以有任意多个公式;在 LHS 为空的时候,RHS 是重言式。在 LK 中,RHS 也可以有任意数目的公式--如果没有,则 LHS 是个矛盾,而在 LJ 中,RHS 只能没有或有一个公式: 在右紧缩规则前面,允许 RHS 有多于一个公式,等价于容许排中律。注意,相继式演算是相当有表达力的框架,已经为直觉逻辑提议了允许 RHS 有多个公式的相继式演算,而来自 Jean-Yves Girard 的逻辑 LC 得到了 RHS 最多有一个公式的经典逻辑的更加自然的形式化;逻辑和结构规则的相互作用是它的关键。

"切"是在相继式演算的正规陈述中的一个规则,并等价于在其他证明论中的规则变体,给出

(1)  (A, B, \ldots) \vdash C

(2) C \vdash (D, E, \ldots)

你可以推出

(3) (A, B, \ldots) \vdash (D, E, \ldots)

就是说,在推论关系中"切掉"公式 "C" 的出现。

切消定理声称(对于一个给定的系统) 使用切规则的任何相继式证明也可以不使用这个规则来证明。如果我们认为 (D, E, \ldots) 是一个定理,则切消简单的声称用来证明这个定理的引理 C 可以被内嵌(inline)。在这个定理的证明提及引理 C 的时候,我们可以把它代换为 C 的证明。因此,切规则是可接纳的

对于用相继式公式化的系统,分析性证明是不使用切规则的证明。这种证明典型的会很长,当然没有必要这么做。在散文《不要消除切呀!》中,George Boolos 展示了可以使用切在一页中完成的推导,而它的分析性证明要耗尽宇宙的寿命来完成。

这个定理有很多丰富的推论。一旦一个系统被证明有切消定理,这个系统通常立即就是一致的。这个系统通常也有子公式性质,这是达成证明论语义的重要性质。切削是证明插值定理的最强力工具。基于归结原理的完成证明查找的可能性,导致 Prolog 编程语言的本质洞察,依赖于在适当的系统中接纳切规则。

引用[编辑]

  • Gentzen, Gerhard. Untersuchungen über das logische Schließen. Mathematische Zeitschrift. 1934-1935, 39: 405–431. 

参见[编辑]