切萨罗求和

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切薩羅求和Cesàro summation)是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅(Ernesto Cesàro)發明,是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α,則其切薩羅和存在,其值為 α,而發散級數也可以用切薩羅求和的方式,計算出切薩羅和。

定義[编辑]

令 {an} 為一 數列,且令

s_k = a_1 + \cdots + a_k

為數列前 k 項的部份和

\sum_{n=1}^\infty a_n.

若以下的條件成立,則此數列 {an} 的切薩羅和存在,且其值為α。

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \alpha.

範例[编辑]

an = (-1)n+1, n ≥ 1. 因此{an} 為以下的數列

1, -1, 1, -1, \ldots.

其部份和組成的數列 {sn} 為

1, 0, 1, 0, \ldots,

此數列(稱為格蘭迪級數)不會收斂。

而數列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各項分別為

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.

因此,數列 {an} 的切薩羅和為 1/2。

推廣[编辑]

切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和,表示為(C, n),其中n為非負整數。 (C, 0) 是一般定義下的和,而(C, 1)就是上述的切薩羅和。

n>1時的(C, n) 如下所述: 對於級數Σan, 定義

A_n^{-1}=a_n; A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}

且定義 Enα 為數列 1 + 0 + 0 + 0 + · · · 的 Anα。 則 Σan 的 (C, α) 和則為

\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}

若以上數值存在。[1]

參見[编辑]

註解[编辑]

  1. ^ Shawyer and Watson pp.16-17

參考書目[编辑]

Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 0-19-853585-6. 

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